Риманова метрика

Google Maps вычисляет маршруты на эллипсоиде WGS-84: геодезическая Москва-Нью-Йорк на 418 км короче пути по плоской карте Меркатора.

• **GPS:** WGS-84 с конкретными g_{ij} -- стандарт для всех GPS-устройств мира. Маршруты -- геодезические на этом многообразии.
• **ОТО:** метрика Шварцшильда описывает гравитацию. Риманова геометрия -- язык уравнений Эйнштейна.
• **Riemannian ML:** Poincare embeddings (Facebook AI, 2017) используют метрику гиперболического пространства для иерархических данных.

Метрический тензор

Google Maps использует риманову метрику на эллипсоиде WGS-84 (полуось a=6378137 м) для вычисления кратчайших маршрутов: геодезическая между Москвой и Нью-Йорком на 418 км короче пути по плоской карте Меркатора.

Изометрии и группа симметрий

Общая теория относительности Эйнштейна использует псевдориманову метрику Минковского ds²=-c²dt²+dx²+dy²+dz². Группа изометрий этой метрики - группа Лоренца, описывающая относительность одновременности при скоростях ~c.

Ключевые идеи

• **Метрический тензор g_{ij}:** симметричный (0,2)-тензор. Скалярное произведение <u,v>_p=g_{ij}u^iv^j в T_pM.
• **Форма объёма:** dvol=sqrt(det g) dx^1 wedge...wedge dx^n. Для S^2: dvol=sin(theta) dtheta wedge dphi.
• **Изометрии:** f*g=g (изометрия), L_X g=0 (поле Киллинга). dim Isom(M)<=n(n+1)/2.