Теория представлений

IBM Q System One описывает спин-1/2 через двумерное представление SU(2). Матрицы Паули управляют квантовыми воротами в 127-кубитном процессоре Eagle.

• **Квантовые вычисления:** унитарные представления SU(2) описывают квантовые вентили IBM Q.
• **Молекулярная спектроскопия:** орбитали CO2 классифицируются по неприводимым представлениям группы D_inf_h.
• **Equivariant NN (SE(3)-Transformer):** используют представления SE(3) для молекулярных предсказаний.

Предварительные знания

• Теория групп (основы)
• Линейная алгебра
• Модули над кольцами

• Предыдущий урок по алгебре

Представления групп

Физика частиц IBM Q System One описывает спин-1/2 через двумерное представление группы SU(2). Матрицы Паули σ_x, σ_y, σ_z - это генераторы этого представления, управляющие реальными квантовыми воротами.

Неприводимые представления и теорема Маше

В квантовой химии молекулярные орбитали CO2 классифицируются по неприводимым представлениям группы симметрии D∞h. Это позволяет предсказывать разрешённые переходы без решения уравнения Шрёдингера.

Ключевые идеи

• **Представление rho: G->GL(V):** гомоморфизм. Характер chi(g)=Tr(rho(g)) -- полный инвариант.
• **Теорема Маше:** любое конечномерное представление конечной группы над C разлагается в прямую сумму неприводимых.
• **Ортогональность характеров:** <chi_i, chi_j>=delta_{ij}. Число неприводимых = число классов сопряжённых элементов.