Абстрактная алгебра
Теория Галуа: введение
Математики 300 лет искали формулу для корней уравнений 5-й степени. 20-летний Галуа доказал, что её не существует - и умер на следующий день. Его идея: вместо формул изучать симметрию корней. Эта симметрия - группа. А структура группы отвечает на вопрос о разрешимости.
- Теория Галуа лежит в основе доказательства невозможности трисекции угла и удвоения куба с помощью циркуля и линейки
- В теории чисел: группы Галуа над Q описывают симметрии l-адических представлений, центральный объект программы Ленглендса
Предварительные знания
Поля разложения
**Поле разложения** многочлена f ∈ F[x] - наименьшее расширение L ⊇ F, в котором f полностью раскладывается на линейные множители: f(x) = a(x − α₁)(x − α₂)···(x − αₙ), αᵢ ∈ L. Поле разложения единственно с точностью до изоморфизма над F. Строится итеративно: присоединяем корни один за другим - F ⊂ F(α₁) ⊂ F(α₁,α₂) ⊂ ... = L.
**Эварист Галуа (1811-1832)** - французский математик, создавший теорию Галуа в возрасте около 20 лет. Ночью перед дуэлью (из-за женщины или политики - историки спорят) он записал свои математические открытия, предчувствуя гибель. Он написал брату: «У меня нет времени». На следующий день был смертельно ранен. Его рукописи были опубликованы лишь через 14 лет после смерти. Сегодня теория Галуа - фундамент современной алгебры.
**Нормальное расширение** - расширение L/F, являющееся полем разложения некоторого многочлена над F. Эквивалентно: каждый неприводимый над F многочлен, имеющий корень в L, полностью раскладывается в L. **Сепарабельное расширение** - все минимальные многочлены элементов имеют только простые корни (автоматически в characteristic 0).
Каково поле разложения f = x² + 1 над R (вещественными числами)?
Группа Галуа
Пусть L/F - расширение полей. **Группа Галуа** Gal(L/F) - это группа всех автоморфизмов поля L, фиксирующих F: Gal(L/F) = {σ: L → L | σ - автоморфизм, σ(a) = a для всех a ∈ F}. Автоморфизм σ ∈ Gal(L/F) переставляет корни неприводимых многочленов над F: если f(α) = 0, то f(σ(α)) = 0. Поэтому Gal(L/F) действует на корнях каждого f ∈ F[x].
**Расширение Галуа** = нормальное + сепарабельное расширение. Не любое расширение поля является расширением Галуа. Например, Q(∛2)/Q - нормальное расширение степени 3, но НЕ Галуа: ω ∉ Q(∛2), поэтому не все корни x³−2 лежат в Q(∛2). |Gal(Q(∛2)/Q)| = 3 ≠ [Q(∛2):Q] = 3... нет, здесь другой пример: попробуйте Q(2^(1/4))/Q - не нормальное.
**Группа Галуа как группа перестановок.** Для f ∈ F[x] степени n с корнями α₁,...,αₙ в поле разложения L: каждый σ ∈ Gal(L/F) действует на {α₁,...,αₙ} как перестановка. Это даёт вложение Gal(L/F) ↪ Sₙ. Для «общего» многочлена степени n группа Галуа - это вся Sₙ.
Каков порядок группы Галуа Gal(Q(√2, √3)/Q)?
Основная теорема теории Галуа
**Основная теорема теории Галуа:** Пусть L/F - конечное расширение Галуа с группой G = Gal(L/F). Тогда существует взаимно-однозначное соответствие (антиизоморфизм порядков): {Промежуточные поля F ⊆ K ⊆ L} ↔ {Подгруппы H ≤ G} Соответствие: K ↦ Gal(L/K) = {σ ∈ G | σ(k) = k ∀k ∈ K}, H ↦ L^H = {x ∈ L | σ(x) = x ∀σ ∈ H}. При этом: [L:K] = |Gal(L/K)|, [K:F] = [G:Gal(L/K)], и K/F нормально ⟺ Gal(L/K) ◁ G.
**Связь с разрешимостью уравнений.** Уравнение f = 0 решается в радикалах ⟺ группа Галуа f разрешима. Квадратные уравнения: Gal ⊆ Z₂ (разрешима → √ берём). Кубические: Gal ⊆ S₃ (разрешима → формула Кардано). Уравнения степени ≥ 5: группа Sₙ неразрешима при n≥5 → «общее» уравнение 5-й степени не имеет формулы в радикалах (теорема Абеля-Руффини).
**Почему это революционно?** До Галуа математики пытались найти формулы для корней уравнений степени 5 (как формула Кардано для 3). Галуа переформулировал вопрос: вместо «найди корни» - «какова симметрия корней?». Ответ - группа. Этот переход от вычислений к структуре определил математику 20-го века: теория категорий, гомологическая алгебра, современная геометрия - все думают структурами, а не формулами.
Группа Галуа - это просто группа перестановок корней многочлена
Группа Галуа - группа автоморфизмов поля разложения, фиксирующих базовое поле. Действие на корнях - следствие, а не определение.
Определение через автоморфизмы поля позволяет применить основную теорему о соответствии с промежуточными полями - самый мощный результат теории.
Расширение L/Q имеет группу Галуа G = S₃. Сколько промежуточных полей между Q и L?
Ключевые идеи
- Поле разложения f: наименьшее L ⊇ F, где f раскладывается полностью
- Gal(L/F) = группа автоморфизмов L, фиксирующих F; |Gal(L/F)| = [L:F] (для расширений Галуа)
- Основная теорема: промежуточные поля ↔ подгруппы Gal(L/F) (антиизоморфизм)
- K/F нормально ⟺ Gal(L/K) ◁ Gal(L/F)
- f решается в радикалах ⟺ Gal(f) разрешима
Дальнейшие пути
Теория Галуа - вершина классической алгебры. Она соединяет теорию групп, теорию полей и теорию чисел в единое целое.
- Расширения полей — Степень расширения и минимальные многочлены - технический фундамент теории Галуа
- Разрешимые группы — Разрешимость группы Галуа ↔ решаемость уравнения в радикалах - центральная теорема
Вопросы для размышления
- Постройте диаграмму Галуа-соответствия для расширения Q(∛2, ω)/Q (G ≅ S₃). Найдите все 6 промежуточных полей.
- Почему автоморфизм поля, фиксирующий F, обязательно переставляет корни неприводимого многочлена над F?
- Как теорема Галуа объясняет существование формулы Кардано для кубических уравнений, но отсутствие аналога для уравнений 5-й степени?