Абстрактная алгебра
Гомологическая алгебра: введение
Применение функтора к точной последовательности иногда ломает точность. Насколько сильно - измеряют Tor и Ext. Эта «алгебра дефектов» оказалась универсальным языком: топология (гомологии пространств), алгебраическая геометрия (пучки и их когомологии), теория чисел (мотивы), математическая физика (BRST). Всё это - один и тот же язык цепных комплексов.
- Алгебраическая топология: гомологические группы H_n(X) - топологические инварианты пространств; Tor измеряет «кручение» в гомологиях
- Алгебраическая геометрия: производная категория когерентных пучков D^b(X) - основной инвариант многообразия; теорема Римана-Роха вычисляет Ext между пучками
Предварительные знания
Точные последовательности
В BERT каждый из 12 слоёв трансформера порождает цепной комплекс из матриц размером 768×768 - гомологические инварианты объясняют, почему глубина сети улучшает качество. Последовательность R-модулей и гомоморфизмов: ... → A →^f B →^g C → ... называется **точной** в B, если im(f) = ker(g). Последовательность точна, если она точна в каждом члене. **Короткая точная последовательность:** 0 → A →^f B →^g C → 0 Означает: f инъективен, g сюръективен, im(f) = ker(g). Говорим: B является **расширением** C с помощью A. Примеры: - 0 → Z →×2 Z → Z/2Z → 0 (умножение на 2, проекция по модулю 2) - 0 → nZ → Z → Z/nZ → 0
**Длинная точная последовательность когомологий** - главный вычислительный инструмент. Если 0 → A → B → C → 0 - короткая точная, то применение функтора (например, Hom(M, ·)) может сломать точность. Дефект меряется длинной точной последовательностью: ... → Hom(M,A) → Hom(M,B) → Hom(M,C) → Ext¹(M,A) → Ext¹(M,B) → ...
Последовательность 0 → A →^f B →^g C → 0 точна. Что означает точность в B?
Цепные комплексы и гомологии
**Цепной комплекс** (C•, d) - последовательность модулей и гомоморфизмов: ... → Cₙ₊₁ →^{dₙ₊₁} Cₙ →^{dₙ} Cₙ₋₁ → ... таких, что d∘d = 0, т.е. dₙ ∘ dₙ₊₁ = 0 (композиция двух последовательных дифференциалов нулевая). **n-ая гомология:** Hₙ(C•) = ker(dₙ) / im(dₙ₊₁) Гомология измеряет «дефект точности»: комплекс точен (является резольвентой) тогда и только тогда, когда все гомологии нулевые.
**Теорема де Рама** (снова): Комплекс де Рама (Ω⁰ →^d Ω¹ →^d Ω² → ...) - это цепной комплекс (d∘d = 0)! Его гомологии - группы де Рама H^k(M). По теореме де Рама они изоморфны топологическим когомологиям. Таким образом, вся внешняя алгебра - это один большой цепной комплекс.
Цепной комплекс 0 → Z →×2 Z → Z/2Z → 0 является точным. Чем отличается «точный комплекс» от «комплекса с нулевыми гомологиями»?
Производные функторы: Tor и Ext
Функтор ⊗_R: Mod_R → Ab не сохраняет точность - он **правоточен**: если 0 → A → B → C → 0 точна, то A⊗M → B⊗M → C⊗M → 0 точна, но 0 → A⊗M может ломаться. **Tor_n(C, M)** - n-й производный функтор от ⊗_M. Измеряет, насколько далеко ⊗ от точности слева: - Tor₀(C, M) = C ⊗ M - Если M или C плоский (flat), то Tor_n = 0 для n ≥ 1 - Длинная точная последовательность Tor: ... → Tor₁(C,M) → A⊗M → B⊗M → C⊗M → 0 Аналогично, Hom(·, M) - левоточен, и его производные функторы - **Ext^n(·, M)**.
**Происхождение терминологии:** - **Tor** от «Torsion» (кручение): Tor₁(Z/nZ, M) «видит» n-кручение в M - **Ext** от «Extension» (расширение): Ext¹(A, B) классифицирует расширения B → ? → A Производные функторы - центральный инструмент современной математики: в алгебраической геометрии (когерентные пучки, теорема Римана-Роха), в теории чисел (мотивы, когомологии этале), в теоретической физике (BRST-квантование).
Tor₁(Z/2Z, Z/3Z) = ? (над кольцом Z)
Ключевые идеи
- Точная последовательность: im(f) = ker(g) в каждом члене
- 0 → A → B → C → 0 (КТП): A - ядро, C - кообраз, B - расширение
- Цепной комплекс: d∘d = 0; гомологии H_n = ker(dₙ)/im(dₙ₊₁)
- Hₙ = 0 ⟺ точность в n-м члене
- Tor_n(M, N) - производный функтор ⊗; Tor₁ измеряет кручение
- Ext^n(M, N) - производный функтор Hom; Ext¹ классифицирует расширения
Дальнейшие пути
Гомологическая алгебра - фундамент производных категорий и спектральных последовательностей. Они позволяют вычислять инварианты в алгебраической геометрии (когомологии Хохшильда, гомологии де Рама) и теории чисел (р-адическая когомология, мотивы).
- Тензорные произведения — Tor - производный функтор от ⊗; Tor₁ = ker когда ⊗ не точен слева
- Внешняя алгебра — Комплекс де Рама (Ω*, d) - главный пример цепного комплекса
Вопросы для размышления
- Докажите, что для поля k любой k-модуль (векторное пространство) плоский, то есть Tor₁(V, W) = 0 для любых k-векторных пространств V, W.
- Вычислите Ext¹(Z/nZ, Z) над Z. Интерпретируйте ответ в терминах расширений.
- Теорема об универсальных коэффициентах: H_n(X; Z/pZ) содержит «поправку» Tor₁(H_{n-1}(X), Z/pZ). Для какого пространства X эта поправка нетривиальна?