Теория представлений: продвинутые темы

Таблица характеров конечной группы - это её «геном»: маленькая матрица, кодирующая всю алгебраическую структуру. Теорема Брауэра превращает эту матрицу в инструмент теории чисел: L-функции Артина выражаются через одномерные характеры абелевых расширений.

• Теория чисел: L-функции Артина и гипотеза Артина о мероморфности - применение теоремы Брауэра
• Физика частиц: неприводимые представления группы симметрий → классификация частиц (теорема Вигнера)
• Криптография: представления групп Галуа → алгоритмы факторизации (теорема Шура-Зайделя)

Предварительные знания

• Разложения тензоров в алгебре
• Теория групп (продвинутая)
• Теория категорий (основы)
• Когомологии групп

• Tensor Decompositions in Algebra

Характеры представлений и таблица характеров

Фробениус вычислил первую таблицу характеров неабелевой группы (S_4) в 1896 году, а Бернсайд в 1904 году использовал ортогональность характеров для доказательства разрешимости любой группы порядка p^a q^b. ATLAS of Finite Groups (Conway и др., 1985) содержит таблицы характеров всех 26 спорадических простых групп, включая Монстра порядка примерно 8.08 × 10^53.

**Характер представления** ρ: G → GL(V): χ_V(g) = tr(ρ(g)) - след матрицы. Свойства характера: 1. χ_V(e) = dim(V) (след единичной матрицы) 2. χ_V(hgh⁻¹) = χ_V(g) - характер - функция на классах сопряжённости 3. χ_{V⊕W} = χ_V + χ_W (сложение представлений) 4. χ_{V⊗W} = χ_V · χ_W (умножение = произведение характеров) 5. χ_{V*}(g) = χ_V(g⁻¹) = conj(χ_V(g)) (для унитарных представлений) **Таблица характеров** - матрица χᵢ(Cⱼ), где χᵢ - неприводимые характеры, Cⱼ - классы сопряжённости. Размер таблицы: k×k, где k = число классов сопряжённости = число неприводимых представлений. **Разложение:** Любое представление V раскладывается в прямую сумму неприводимых: V ≅ ⊕ nᵢ·Vᵢ, где nᵢ = ⟨χ_V, χᵢ⟩ = (1/|G|) ∑_{g∈G} χ_V(g)·conj(χᵢ(g)). **Теорема:** Число неприводимых представлений = числу классов сопряжённости.

**Теорема о характерах (Фробениус-Шур):** Таблица характеров конечной группы G - квадратная матрица k×k (k - число классов сопряжённости). Строки ортонормальны: ⟨χᵢ,χⱼ⟩=δᵢⱼ. Столбцы тоже ортогональны: ∑ᵢ χᵢ(g)·conj(χᵢ(h)) = (|G|/|Cg|)·δ_{Cg=Ch}. Таблица характеров определяет группу с точностью до изоморфизма (для многих, но не всех групп).

Индуцированные представления и лемма Фробениуса

**Индуцированное представление:** Пусть H ≤ G - подгруппа, σ: H → GL(W) - представление H. Тогда Ind_H^G(σ) - представление G, построенное из σ «на смежных классах»: Ind_H^G(W) = k[G] ⊗_{k[H]} W ≅ ⊕_{g ∈ G/H} gW (прямая сумма по смежным классам) Размерность: dim(Ind_H^G(W)) = [G:H] · dim(W). **Характер индуцированного:** χ_{Ind}(g) = (1/|H|) ∑_{x∈G, x⁻¹gx∈H} χ_σ(x⁻¹gx). **Лемма Фробениуса о взаимности (Frobenius reciprocity):** ⟨Ind_H^G(σ), ρ⟩_G = ⟨σ, Res_H^G(ρ)⟩_H Здесь Res - рестрикция (ограничение представления G на H). Это «правило сопряжённых функторов»: Ind и Res - сопряжённые функторы! **Примеры:** Регулярное представление k[G] = Ind_1^G(k) (индуцированное из простого на единичной подгруппе). Все неприводимые входят в k[G] с кратностью равной их размерности.

**Формула Маклея (Mackey's formula):** Ограничение индуцированного представления на подгруппу: Res_K^G ∘ Ind_H^G(σ) = ⊕_{g ∈ K\G/H} Ind_{H∩K^g}^K(Res_{H∩K^g}^{K^g}(σ^g)), где сумма по двойным смежным классам. Это «правило промежуточных состояний» - аналог правила трапеций в физике.

Теорема Брауэра: все характеры - индуцированные

**Теорема Брауэра (1953):** Любой характер конечной группы G является целочисленной линейной комбинацией характеров, индуцированных из одномерных представлений элементарных подгрупп. **Элементарная подгруппа** - подгруппа вида ⟨g⟩ × P, где ⟨g⟩ - циклическая группа, P - p-группа для некоторого простого p. **Практическое следствие:** Для вычисления χ(g) достаточно знать значения одномерных характеров на элементарных подгруппах - «кирпичиках», из которых строятся все характеры. **Более слабая теорема Артина:** Любой рациональный характер χ является ℚ-линейной комбинацией характеров, индуцированных из ЦИКЛИЧЕСКИХ подгрупп. (Брауэр улучшил: ℤ-коэффициенты, элементарные подгруппы.) **Приложение - L-функции:** Теорема Брауэра используется для доказательства мероморфности L-функций Артина: L(s, χ) = ∏ L(s, χᵢ)^{nᵢ}, где χᵢ - одномерные (абелевы), а nᵢ ∈ ℤ.

**L-функции Артина:** L(s, χ) = ∏_p det(1 - Frob_p · p^{-s} | V^{I_p})^{-1} - L-функция, ассоциированная с представлением χ группы Галуа Gal(L/Q). Теорема Брауэра доказывает, что L(s,χ) - мероморфная функция (разложение χ в ℤ-комбинацию одномерных приводит L-функцию к произведению дзета-функций Гекке). Аналитическое продолжение L(s,χ) на всю комплексную плоскость - гипотеза Артина, открытая для dim > 1.

Ключевые идеи

• Характер χ_V(g) = tr(ρ(g)) - функция на классах сопряжённости; ⟨χᵢ,χⱼ⟩ = δᵢⱼ
• Число неприводимых = числу классов сопряжённости; ∑ dim(Vᵢ)² = |G|
• Ind_H^G - индукция; Res_H^G - рестрикция; Лемма Фробениуса: ⟨Ind(σ),ρ⟩_G = ⟨σ,Res(ρ)⟩_H
• Теорема Брауэра: любой характер = ℤ-комбинация Ind от одномерных на элементарных подгруппах

Дальнейшие пути

Теория представлений - мост между абстрактной алгеброй и анализом. Характеры Ли-групп (теорема Вейля о характерах), перверсные пучки и теория Ленглендса - продолжения этого направления. Алгебра в ML использует теорию представлений через экивариантные нейросети.

• Абстрактная алгебра в ML — Equivariant нейросети - архитектуры, инвариантные к действию группы; теория представлений объясняет, какие слои допустимы
• Тензорные разложения — Характеры представлений - специальные функции, связанные с симметрическими и внешними степенями тензорных произведений

Вопросы для размышления

• Вычислите таблицу характеров группы Q₈ (кватернионная группа порядка 8). Сравните с таблицей D₄ (диэдральная группа порядка 8) - таблицы совпадают или нет?
• Докажите лемму Фробениуса: ⟨Ind_H^G(σ), ρ⟩_G = ⟨σ, Res_H^G(ρ)⟩_H. Используйте явную формулу для характера индуцированного представления.
• Найдите разложение регулярного представления k[S₃] в прямую сумму неприводимых. Проверьте: ∑ nᵢ·dim(Vᵢ) = |G| и nᵢ = dim(Vᵢ).

Связанные уроки

• la-01-vectors-intro