Теория Галуа (обзор)

Две тысячи лет математики искали формулу для уравнения пятой степени. Эварист Галуа в 19 лет доказал, что её не существует-и создал теорию, которая сейчас лежит в основе криптографии, кодирования и даже теории типов. Теория Галуа-один из самых красивых разделов математики.

• **LFSR в поточных шифрах:** генераторы псевдослучайных чисел в A5/1 (GSM), Trivium используют примитивные полиномы над GF(2), примитивность которых-вопрос теории Галуа
• **Алгоритм AES:** структура GF(2⁸)-расширение Галуа GF(2⁸)/GF(2) степени 8; автоморфизм Фробениуса x ↦ x² используется в шифре явно
• **Теория типов и алгебраические структуры:** алгебраические числа и их расширения-модель для зависимых типов; связь через поля функций

Предварительные знания

• Rings and Fields

Расширения полей

Расширение поля L/K: L содержит K как подполе. Степень расширения [L:K] = dim_K(L)-размерность L как векторного пространства над K. Примеры: [ℂ:ℝ] = 2 (базис {1, i}); [ℝ:ℚ] = ∞. Если f(x) ∈ K[x] неприводим и α-его корень в L, то K(α) = {a₀ + a₁α + … + a_{n-1}αⁿ⁻¹ : aᵢ ∈ K} и [K(α):K] = deg(f).

**Поле разложения (splitting field):** наименьшее расширение K, в котором полином f(x) полностью разложим на линейные множители. Для f(x) = xⁿ − 1 поле разложения над ℚ-ℚ(ωₙ), где ωₙ = e^(2πi/n). Это циклотомическое расширение, связанное с FFT.

Группа Галуа

Группа Галуа Gal(L/K)-группа всех K-автоморфизмов L (биективных отображений φ: L → L, сохраняющих операции и фиксирующих K поэлементно). Для расширения ℚ(√2)/ℚ: автоморфизмы-тождественный и √2 ↦ −√2. Gal(ℚ(√2)/ℚ) ≅ ℤ/2ℤ.

**Расширение Галуа:** нормальное и сепарабельное расширение L/K. Для таких расширений |Gal(L/K)| = [L:K]. Все расширения конечных полей GF(pⁿ)/GF(p)-расширения Галуа с Gal ≅ ℤ/nℤ (порождается автоморфизмом Фробениуса: x ↦ xᵖ).

Основная теорема теории Галуа

Основная теорема теории Галуа устанавливает взаимооднозначное соответствие между подполями L ⊇ M ⊇ K и подгруппами {e} ≤ H ≤ Gal(L/K): подполю M соответствует Gal(L/M), подгруппе H-поле инвариантов L^H = {x ∈ L : σ(x) = x ∀σ ∈ H}. Это соответствие обращает включение.

**Нормальные подгруппы ↔ нормальные расширения:** если H ◁ Gal(L/K), то соответствующее подполе M/K-нормальное расширение, и Gal(M/K) ≅ Gal(L/K)/H.

Разрешимость радикалами и уравнение степени 5

Полином f(x) ∈ ℚ[x] разрешим радикалами тогда и только тогда, когда группа Галуа Gal(f) = Gal(L/ℚ) разрешима (solvable group). Группа Sₙ разрешима при n ≤ 4, но S₅ не разрешима. Поэтому для общего полинома степени ≥ 5 нет формулы через радикалы (теорема Абеля-Руффини).

LFSR (Linear Feedback Shift Register) в потоковых шифрах (A5/1 в GSM, Trivium) использует примитивные полиномы над GF(2). Примитивность эквивалентна максимальному периоду 2ⁿ−1 и связана с группой Галуа расширения GF(2ⁿ)/GF(2).

Ключевые идеи

• **Расширение поля L/K:** степень [L:K] = dim_K(L); башня: [L:K] = [L:M]·[M:K]
• **Группа Галуа Gal(L/K):** K-автоморфизмы L; |Gal| = [L:K] для расширений Галуа
• **Теорема соответствия:** подполя ↔ подгруппы (с обращением включения); нормальные подгруппы ↔ нормальные расширения
• **Разрешимость:** f разрешим радикалами ↔ Gal(f) разрешима; S₅ не разрешима → нет формулы для deg ≥ 5

Связанные темы

Теория Галуа объединяет группы, поля и полиномы в единое целое:

• Группы — Группа Галуа-конкретный пример группы; разрешимость группы-алгебраический критерий
• Кольца и поля — Расширения полей-центральный объект теории Галуа
• Полиномы — Поле разложения полинома-отправная точка теории Галуа

Вопросы для размышления

• Галуа создал теорию групп, чтобы решить задачу о полиномах. Как часто в истории математики абстрактная теория создавалась для конкретной задачи и находила применение совсем в другой области?
• Автоморфизм Фробениуса x ↦ xᵖ порождает Gal(GF(pⁿ)/GF(p)). Как это используется в протоколах на основе эллиптических кривых?
• Теория Галуа объясняет, почему нельзя трисектировать угол с помощью циркуля и линейки. Как это связано со степенями расширений полей?

Связанные уроки

• la-01-vectors-intro