Алгебра

Алгебры Ли

Цели урока

  • Понять аксиомы алгебры Ли: кососимметричность, тождество Якоби
  • Освоить структуру sl(2,C): образующие H, E, F и их соотношения
  • Знать форму Киллинга и критерий полупростоты Картана
  • Понимать присоединённое представление и понятие идеала

Предварительные знания

  • Линейная алгебра
  • Матричные группы
  • Основы абстрактной алгебры
  • Основы абстрактной алгебры

Три числа описывают угловой момент всей Вселенной. Структурные константы so(3) - это вся механика вращения, квантовая механика спина и симметрия элементарных частиц. Одна маленькая алгебра, бесконечные следствия.

  • Google DeepMind: обучение роботов через группы вращений SO(3) - алгебра so(3) задаёт физические ограничения
  • Квантовая механика: спин частицы - представление su(2), правила отбора из [H,E]=2E
  • Физика частиц: стандартная модель основана на su(3) × su(2) × u(1) - прямой сумме алгебр Ли
  • Теория струн: исключительная алгебра E8 описывает симметрию 10-мерного пространства-времени

От Ли к классификации Картана

Софус Ли (1842-1899) изучал симметрии дифференциальных уравнений и обнаружил, что непрерывные группы задаются своими линейными приближениями - алгебрами. Вильгельм Киллинг в 1888-1890 годах опубликовал полную классификацию простых алгебр Ли, включая исключительные типы G2, F4, E6, E7, E8 - задолго до того, как физика нашла им применение. Эли Картан в 1894 году устранил ошибки Киллинга и дал строгие доказательства. Форма Киллинга носит его имя по иронии истории.

Скобка Ли и определение алгебры Ли

2023 год. Google DeepMind обучает роботов ходить по неровной поверхности. Ключ - группа вращений SO(3). Её алгебра Ли so(3) - три матрицы, три числа, три соотношения. Весь угловой момент Вселенной описывается тремя структурными константами.

Алгебра Ли - векторное пространство V над полем k со скобкой [·,·]: V×V → V, которая кососимметрична и удовлетворяет тождеству Якоби. Это не ассоциативное умножение - это нечто другое.

Классический пример: gl(n)

Матрицы как алгебра Ли

Пространство всех матриц n×n с коммутатором [A,B] = AB - BA - это алгебра Ли gl(n). Тождество Якоби следует из ассоциативности матричного умножения. Подалгебра sl(n) - матрицы со следом 0.

Любая ассоциативная алгебра A становится алгеброй Ли через [a,b] = ab - ba. Это главный источник примеров. Именно так физики получают алгебры Ли из матричных групп.

Какое тождество выполняется для скобки Ли помимо кососимметричности?

Тождество Якоби вместе с кососимметричностью и билинейностью полностью определяет алгебру Ли.

Алгебра sl(2,C) и её структура

sl(2,C) - самая маленькая нетривиальная простая алгебра Ли. Три образующих, три соотношения. Из них вырастает вся теория спина в квантовой механике, классификация частиц, уравнение Дирака. Три числа правят физикой.

Физики называют E и F операторами лестницы. E переводит состояние со спином m в m+1, F - обратно. H измеряет спин. В квантовой механике этот трёхмерный алгебраический объект отвечает за правила отбора в спектроскопии.

sl(2) над R и над C - разные алгебры Ли. Над R нет разложения на E,F с вещественными матрицами. su(2) - компактная вещественная форма sl(2,C). Физики работают с su(2) для спина, математики - с sl(2,C) для представлений.

Чему равен коммутатор [E,F] в sl(2,C)?

Три соотношения [H,E]=2E, [H,F]=-2F, [E,F]=H полностью определяют структуру sl(2,C).

Форма Киллинга и полупростые алгебры

1888 год. Вильгельм Киллинг публикует классификацию простых алгебр Ли. Помимо четырёх серий (A, B, C, D) он находит пять исключительных: G2, F4, E6, E7, E8. E8 - симметрия, которую используют теоретики струн в 2024 году для описания пространства-времени.

СерияАлгебраdimФизическое применение
A_nsl(n+1)n(n+2)SU(n+1), кварки (A_2 = su(3))
B_nso(2n+1)n(2n+1)Ортогональные группы, спиноры
C_nsp(2n)n(2n+1)Гамильтонова механика, симплектика
D_nso(2n)n(2n-1)Вращения в чётных размерностях
G_2g_214Октонионы, M-теория

Теорема Картана-Киллинга: любая полупростая алгебра Ли над C однозначно разлагается в прямую сумму простых. Простые классифицированы. Это самая полная структурная теорема в алгебре.

Форма Киллинга B(x,y) = tr(ad_x ∘ ad_y). Какое свойство g она определяет?

Критерий Картана: полупростота эквивалентна невырожденности формы Киллинга. Для sl(2,C) форма невырождена - sl(2,C) полупроста и проста.

Присоединённое представление и идеалы

Каждая алгебра Ли действует на себе. Это не тавтология - это структурная информация. Присоединённое представление ad_x(y) = [x,y] задаёт линейный оператор на g. Его образ - всё, что x 'может сдвинуть'.

Матрица ad_H в sl(2,C)

Вычисление присоединённого оператора

В базисе {H,E,F}: ad_H(H)=[H,H]=0, ad_H(E)=[H,E]=2E, ad_H(F)=[H,F]=-2F. Матрица ad_H = diag(0,2,-2). Собственные значения 0, 2, -2 - это корни алгебры Ли sl(2,C).

Корни алгебры Ли - это собственные значения операторов ad_h для h из подалгебры Картана. Для sl(2,C) подалгебра Картана одномерна: h = span{H}. Корни: +2 и -2.

Что такое идеал алгебры Ли g?

Идеал - инвариантное подпространство относительно всех операторов ad_x. Для простых алгебр Ли идеалов нет.

Связи с другими темами

Алгебры Ли - язык симметрий в физике и геометрии.

  • Квантовая механика — Связанная тема
  • Теория представлений — Связанная тема
  • Квантовые группы — Связанная тема
  • Универсальная обёртывающая — Связанная тема

Итоги

  • Алгебра Ли = векторное пространство + скобка [x,y] кососимметричная и якобиева
  • sl(2,C) = span{H,E,F} с [H,E]=2E, [H,F]=-2F, [E,F]=H - прототип всей теории
  • Форма Киллинга B(x,y)=tr(ad_x ad_y): g полупроста тогда и только тогда, когда B невырождена
  • Присоединённое представление ad_x(y)=[x,y] задаёт действие g на себя
  • Простые алгебры Ли над C - четыре серии A,B,C,D плюс пять исключительных

Вопросы для размышления

  • Почему тождество Якоби - это аналог ассоциативности, а не сама ассоциативность?
  • Как форма Киллинга отличает полупростую алгебру от нильпотентной?
  • Почему исключительные алгебры Ли E6, E7, E8 не укладываются ни в одну серию?

Связанные уроки

  • alg-25-universal-enveloping — U(g) строится поверх алгебры Ли
  • alg-27-lie-repr — Теория представлений использует структуру sl(2)
  • alg-26-quantum-groups — Квантовые группы - q-деформация алгебр Ли
Алгебры Ли

0

1

Войти