Алгебра

Симметрические функции

Цели урока

  • Освоить четыре базиса кольца Λ: e_k, h_k, p_k, s_λ и переходы между ними
  • Понять тождество Якоби-Труди: s_λ = det(h_{λ_i-i+j})
  • Знать скалярное произведение Холла и ортонормальность функций Шура
  • Применять правило Литтлвуда-Ричардсона для произведений s_λ

Предварительные знания

  • Теория представлений алгебр Ли
  • Разбиения и диаграммы Юнга
  • Линейная алгебра
  • Теория представлений алгебр Ли

Ньютон в 1707 году доказывает теорему о симметрических многочленах. Через 300 лет она управляет теорией струн, инвариантами узлов и алгоритмами перечислительной комбинаторики. Четыре числа e_k, h_k, p_k, s_λ - словарный запас для описания симметрии в любом измерении.

  • Физика частиц: числа Литтлвуда-Ричардсона вычисляют разложения тензорных произведений SU(n)-представлений в моделях кварков
  • AdS/CFT соответствие: функции Шура появляются в формулах для однопетлевых поправок в суперсимметричной теории поля
  • Алгоритмы: вычисление числа SYT через формулу крюка - O(n log n) с использованием Якоби-Труди
  • Теория кодирования: симметрические функции в конечных полях используются в конструкции алгебро-геометрических кодов

От Ньютона к Мак-Дональду

Исаак Ньютон в 1707 году доказал теорему о представлении через элементарные симметрические многочлены. Огюстен-Луи Коши в 1815 году ввёл функции Шура через формулу bialternant. Иссаи Шур в 1901 году связал их с теорией представлений GL(n). Дасли Литтлвуд и Арчибальд Ричардсон в 1930-е годы открыли правило умножения. Ian Macdonald в 1979 году написал монографию 'Symmetric Functions and Hall Polynomials' - стандартную ссылку для пяти поколений математиков.

Базисы кольца симметрических функций

1707 год. Исаак Ньютон доказывает теорему о симметрических многочленах. Любой симметрический многочлен от x_1,...,x_n выражается через e_1,...,e_n. Это одна из немногих теорем, где структура абсолютно исчерпывающа. Через 300 лет функции Шура появляются в теории струн, квантовой хромодинамике и комбинаторике диаграмм.

Четыре базиса Λ - это четыре 'языка' для одного кольца: e_k (бесквадратные мономы), h_k (все мономы), p_k (степенные суммы), s_λ (функции Шура). Каждый удобен для своих задач. Переходы между ними - центр книги Мак-Дональда.

Тождество Якоби-Труди для одноклеточного разбиения λ=(k) даёт:

Якоби-Труди: s_λ = det(h_{λ_i-i+j}). Для λ=(k) - матрица 1×1 = (h_k). Определитель = h_k.

Ортогональность Шура и скалярное произведение Холла

Функции Шура ортонормальны. Не в случайном смысле - в строго определённом скалярном произведении. Это превращает Λ в гильбертово пространство (бесконечномерное, с топологией). И разложение по функциям Шура - это разложение Фурье в алгебре.

Произведение s_(2) · s_(1)

Вычисление через ЛР-правило

s_(2) · s_(1) = s_(3) + s_(2,1). Числа ЛР: c^{(3)}_{(2),(1)} = 1, c^{(2,1)}_{(2),(1)} = 1. Физически: GL(n)-представление V_{(2)} ⊗ V_{(1)} = V_{(3)} ⊕ V_{(2,1)} (симметрическое × фундаментальное).

Числа Литтлвуда-Ричардсона c^ν_{λμ} ≥ 0 всегда. Это незаметим, что из алгебраического определения. Комбинаторное доказательство через ЛР-слова - один из глубоких результатов алгебраической комбинаторики.

В скалярном произведении Холла ⟨p_λ, p_μ⟩ = δ_{λμ} z_λ. Функции Шура s_λ:

⟨s_λ, s_μ⟩ = δ_{λμ} - основное свойство функций Шура. Это следствие того, что s_λ - характеры GL(n)-модулей и обобщённая формула характера Вейля.

Функции Шура в теории представлений и физике

Функции Шура - это не абстракция. Это конкретные числа, вычисляемые алгоритмически. И они появляются там, где не ждёшь: в суперсимметрии, в топологической теории поля, в числах Эйлера-Пуанкаре многообразий флагов. Один объект - пятьдесят применений.

ОбъектФормула через s_λПрименение
Характер GL(n)-модуля V_λs_λ(x_1,...,x_n)Теория представлений GL(n)
Разложение V_λ⊗V_μs_λ·s_μ = ∑c^ν_{λμ}s_νЧисла Литтлвуда-Ричардсона
Размерность V_λ (GL(n))s_λ(1,...,1) через формулу ВейляКратности в физических моделях
Суперпространствоs_λ(x|y) - суперсимм. ШурAdS/CFT, суперсимметрия

Функция Шура s_λ(x_1,...,x_n) является характером:

s_λ(x_1,...,x_n) = ch(V_λ^{GL(n)}) - это теорема, объединяющая комбинаторику разбиений и теорию представлений группы GL(n).

Специализации и плетизм

Плетизм - операция над симметрическими функциями, открытая Литтлвудом в 1950 году. Она описывает представления, возникающие из суперпозиции: если V - GL(m)-модуль, то S^k(V) - GL(m)-модуль. Как его характер? Ответ - плетизм s_k[s_λ].

Специализация s_λ(x_1,...,x_n) при x_i = 1 для всех i даёт:

s_λ(1^n) = dim V_λ^{GL(n)}. Через формулу Вейля: произведение ∏_{1≤i<j≤n}(λ_i-λ_j+j-i)/∏_{i<j}(j-i).

Связи с другими темами

Кольцо симметрических функций - центральный объект, связывающий алгебру, комбинаторику и геометрию.

  • alg-29-alg-comb — extends

Итоги

  • Λ = Z[e_1,...] = Z[h_1,...] = Q[p_1,...] - три алгебраических описания одного кольца
  • Функции Шура {s_λ} - ортонормальный базис Λ в скалярном произведении Холла: ⟨s_λ,s_μ⟩=δ_{λμ}
  • Якоби-Труди: s_λ = det(h_{λ_i-i+j}) - через h, или s_λ = det(e_{λ'_i-i+j}) - через e
  • Правило ЛР: s_λ·s_μ = ∑c^ν_{λμ}s_ν, числа c^ν_{λμ} ≥ 0 - кратности в GL(n)-тензоре
  • Связь с теорией представлений: s_λ(x_1,...,x_n) = ch(V_λ^{GL(n)})

Вопросы для размышления

  • Почему тождество Якоби-Труди выражает функцию Шура через определитель матрицы из h_k?
  • Как ортонормальность функций Шура в скалярном произведении Холла связана с ортогональностью характеров?
  • Что числа Литтлвуда-Ричардсона c^ν_{λμ} означают физически для разложения SU(3)-представлений?

Связанные уроки

  • alg-27-lie-repr — Функции Шура - характеры GL(n)-представлений
  • alg-29-alg-comb — RSK и числа Костки - комбинаторика функций Шура
  • alg-26-quantum-groups — Многочлены Кажданa-Люстига - q-аналоги функций Шура
Симметрические функции

0

1

Войти