Арифметика
Степени с целым показателем
Атом водорода: 0.0000000001 м. Расстояние до галактики Андромеды: 24 000 000 000 000 000 000 км. Как записывать такие числа? Степени десятки превращают монстров в элегантные выражения: 10⁻¹⁰ м и 2.4 × 10¹⁹ км.
- **Физика:** константы от 10⁻³⁵ до 10²⁶
- **Химия:** число Авогадро 6 × 10²³
- **Финансы:** национальные долги и ВВП стран
Нулевая степень
IEEE 754 double precision использует степени 2 для exponent field: 11 бит дают диапазон от 2⁻¹⁰²² до 2¹⁰²³ ≈ 10³⁰⁸. Что такое 2⁰? По логике умножения «ноль раз» - непонятно. Но если продолжить закономерность деления, ответ становится ясен.
**a⁰ = 1** для любого a ≠ 0 5⁰ = 1 100⁰ = 1 (-3)⁰ = 1 0⁰ - не определено (спорный случай)
Определение a⁰ = 1 - не произвол, а единственный способ сохранить все правила работы со степенями. Математика стремится к согласованности.
Чему равно 7⁰ + 3⁰ + 1⁰?
Отрицательная степень
Если a⁰ = 1, что тогда a⁻¹, a⁻², ...? Продолжим делить! Отрицательная степень - это **обратное число** в положительной степени.
**Запомните:** Отрицательная степень «переворачивает» число: • 2⁻¹ = 1/2 • (2/3)⁻² = (3/2)² = 9/4 • 10⁻⁶ = 0.000001 (миллионная доля)
Отрицательные степени особенно удобны в научной нотации: 0.00001 = 10⁻⁵. Гораздо компактнее!
Чему равно 4⁻²?
Обобщённые правила степеней
Хорошая новость: все правила для натуральных степеней работают и для целых! Расширение определения сохраняет согласованность.
**Упрощение выражений:** (2⁻³ × 2⁵) / 2⁴ = 2⁻³⁺⁵ / 2⁴ = 2² / 2⁴ = 2²⁻⁴ = 2⁻² = 1/4
Целые степени позволяют записывать и очень большие, и очень маленькие числа. Это основа научной нотации.
Упростите: 3⁻² × 3⁵ × 3⁻¹
Введение в научную нотацию
Расстояние до Солнца: 150 000 000 км. Масса электрона: 0.00000000000000000000000000091 кг. Степени десятки делают такие числа читаемыми.
**Порядок величины:** • 10⁶ - миллион • 10⁹ - миллиард • 10¹² - триллион • 10⁻³ - тысячная • 10⁻⁶ - миллионная • 10⁻⁹ - миллиардная
Научная нотация - стандарт в науке. Калькуляторы используют E-нотацию: 1.5E8 = 1.5 × 10⁸. Подробнее - в отдельном уроке.
a⁻ⁿ - это отрицательное число
a⁻ⁿ = 1/aⁿ - это положительное число (если a > 0)
Минус в показателе не меняет знак числа. 2⁻³ = 1/8 = 0.125 - положительное число. Отрицательные степени делают число меньше единицы (для a > 1), но не отрицательным.
Как записать 0.00035 в научной нотации?
Ключевые идеи
- a⁰ = 1 для любого a ≠ 0
- a⁻ⁿ = 1/aⁿ - обратное число в степени
- Все правила степеней работают для целых показателей
- Научная нотация: a × 10ⁿ, где 1 ≤ a < 10
Связанные темы
Целые степени расширяют арифметику:
- Научная нотация — Подробный урок
- Корни — Дробные степени
- Логарифмы — Обратная операция
Вопросы для размышления
- Почему 0⁰ - спорный случай в математике?
- Как отрицательные степени связаны с делением?
- Почему научная нотация удобнее обычной записи для очень больших чисел?