Арифметика
Рациональные числа
Древнегреческая школа Пифагора около 500 г. до н.э. обнаружила, что √2 не выражается отношением двух целых чисел - первое в истории доказательство иррациональности. Между любыми двумя рациональными числами лежит бесконечно много других, но между ними же зияют «дыры» вроде √2 ≈ 1.41421356. Рациональные числа - плотная сеть, но не сплошная ткань.
- **Финансы:** цены, проценты, курсы - всё это дроби
- **Музыка:** интервалы как соотношения частот
- **Программирование:** типы данных для точных вычислений
Что такое рациональные числа
Натуральные числа (1, 2, 3...), целые числа (...-2, -1, 0, 1, 2...), дроби - всё это частные случаи **рациональных чисел**.
**Рациональное число** - это число, которое можно записать как дробь p/q, где p - целое, q - натуральное. ℚ = { p/q | p ∈ ℤ, q ∈ ℕ } От латинского «ratio» - отношение, дробь.
Символ ℚ обозначает множество всех рациональных чисел. Это «quotient» - частное (результат деления).
Какое из чисел НЕ является рациональным?
Плотность рациональных чисел
Между любыми двумя рациональными числами есть ещё одно рациональное. И ещё одно. И ещё... Бесконечно много! Это свойство называется **плотностью**.
**Парадокс плотности:** Кажется, рациональные числа «покрывают» всю числовую прямую - их бесконечно много между любыми двумя точками. Но нет! Между ними есть «дыры» - иррациональные числа.
Несмотря на плотность, рациональные числа «счётны» - их можно перенумеровать. А вот все точки прямой перенумеровать нельзя (теорема Кантора).
Сколько рациональных чисел между 1/3 и 1/2?
Замкнутость операций
Рациональные числа **замкнуты** относительно сложения, вычитания, умножения и деления (кроме деления на 0). Результат всегда рациональный!
**Поле рациональных чисел:** ℚ образует «поле» - алгебраическую структуру, где работают все четыре арифметические операции (кроме деления на 0). Целые числа ℤ - только «кольцо» (деление не замкнуто: 5 ÷ 2 ∉ ℤ).
Замкнутость - мощное свойство. При работе только с дробями результат никогда случайно не выходит за их пределы (если не извлекаются корни).
Какая операция с рациональными числами может дать нерациональный результат?
Десятичное представление
Каждое рациональное число можно записать как десятичную дробь - конечную или бесконечную периодическую. И наоборот: каждая такая дробь - рациональна.
**Критерий рациональности:** Десятичная дробь - рациональное число тогда и только тогда, когда она: • конечная, ИЛИ • бесконечная периодическая 0.101001000100001... - не периодическая → иррациональная!
Длина периода дроби 1/n не превышает n-1. Например, 1/7 имеет период длины 6 (максимум для n=7).
0.999... меньше 1
0.999... = 1 (это равные числа)
Доказательство: x = 0.999..., тогда 10x = 9.999..., откуда 10x - x = 9, значит 9x = 9, и x = 1. Бесконечно много девяток после запятой - это не «почти единица», а ровно единица. Между 0.999... и 1 нет никакого числа - они совпадают.
Какая дробь даёт конечную десятичную запись?
Ключевые идеи
- ℚ = {p/q | p ∈ ℤ, q ∈ ℕ} - рациональные числа
- Плотность: между любыми двумя - бесконечно много
- Замкнутость: +, -, ×, ÷ не выводят из ℚ
- Рациональные ⟺ конечные или периодические десятичные
Связанные темы
Рациональные числа - часть иерархии:
- Дроби — Основа рациональных чисел
- Иррациональные числа — Числа вне ℚ
- Действительные числа — ℚ ∪ иррациональные = ℝ
Вопросы для размышления
- Почему рациональные числа называют «плотными», но не «полными»?
- Как определить по десятичной записи, рационально ли число?
- Почему 0.999... = 1 - математический факт, а не приближение?