Совершенные числа

Числа богов: от пифагорейского культа до охоты за миллионами

**Пифагорейцы** верили: числа - это язык Вселенной. Но среди всех чисел они выделили особые - **совершенные**. Число 6 равно сумме своих делителей (1+2+3). Это же число дней творения мира! 28 - лунный цикл, тоже совершенное. Случайность? Пифагорейцы не верили в случайности. Эти числа - **подпись Творца**.

Бог арифметизирует. - Карл Якоби

**GIMPS** (Great Internet Mersenne Prime Search) - проект, где обычные люди ищут совершенные числа домашними компьютерами. В 2018 году волонтёр нашёл 51-е совершенное число - у него **почти 50 миллионов цифр**. Приз в $150,000 ждёт того, кто найдёт первое число Мерсенна с более чем 100 миллионами цифр. Может, это будете вы?

6 = 1 + 2 + 3. Число равно сумме своих делителей! Пифагорейцы считали такие числа божественными. Следующее - 28 (лунный цикл). Потом 496, 8128... и они становятся всё реже. Существует ли нечётное совершенное число? Никто не знает - это открытая проблема тысячелетней давности.

• **Криптография:** простые Мерсенна в генерации ключей
• **История математики:** от Пифагора до распределённых вычислений
• **Теория чисел:** связь с функциями делителей

Определение совершенных чисел

**Совершенное число** - натуральное число, равное сумме всех своих собственных делителей (кроме самого себя). Это одно из древнейших понятий теории чисел.

**Определение:** n - совершенное, если: σ(n) - n = n или эквивалентно: σ(n) = 2n где σ(n) - сумма ВСЕХ делителей n.

Пифагорейцы считали совершенные числа мистическими. 6 - число дней творения (без воскресенья). 28 - лунный цикл.

Примеры совершенных чисел

Совершенных чисел очень мало. Известно всего 51 совершенное число (на 2024 год). Все известные - чётные.

**Открытые вопросы:** • Существуют ли нечётные совершенные числа? (Не найдено ни одного) • Бесконечно ли много совершенных чисел? (Неизвестно) • Если нечётное совершенное существует, оно > 10^2000

Поиск совершенных чисел связан с поиском простых Мерсенна. Каждое новое простое Мерсенна даёт новое совершенное число.

Дружественные числа

**Дружественные числа** - пара чисел, где сумма делителей одного равна другому, и наоборот. Это обобщение совершенных чисел.

**История:** Пифагорейцы считали 220 и 284 символом дружбы. В средневековье амулеты с этими числами дарили на свадьбу. Ферма и Декарт нашли новые пары в XVII веке. Эйлер нашёл 59 пар.

Известно более 1.2 миллиарда пар дружественных чисел. Но неизвестно, бесконечно ли их множество.

Связь с числами Мерсенна

Теорема Евклида-Эйлера связывает совершенные числа с **простыми Мерсенна**. Каждое чётное совершенное число порождается простым Мерсенна.

**GIMPS - Great Internet Mersenne Prime Search:** Распределённый проект поиска простых Мерсенна. Любой может участвовать. Приз $150,000 за первое простое Мерсенна с > 100 миллионами цифр!

Поиск совершенных чисел - это поиск простых Мерсенна. Обе проблемы открыты: неизвестно, бесконечно ли много простых Мерсенна (и совершенных чисел).

Ключевые идеи

• Совершенное число = сумма своих делителей
• Формула Евклида-Эйлера: 2^(p-1)(2^p - 1)
• Дружественные числа - обобщение: σ(a) = b, σ(b) = a
• Нечётных совершенных не найдено

Связанные темы

Совершенные числа связаны с теорией делимости:

• Факторизация — Разложение на делители
• Простые числа — Числа Мерсенна
• Особые простые — Простые Мерсенна подробнее

Вопросы для размышления

• Почему формула Евклида работает только для простых Мерсенна?
• Как доказать, что нечётных совершенных чисел не существует (если это так)?
• Почему дружественные числа интересовали людей тысячи лет?

Связанные уроки

• dm-01