Дробно-линейные преобразования

В 1827 году Август Мёбиус ввёл дробно-линейные преобразования в *Der Barycentrische Calcul*. Через 55 лет Пуанкаре обнаружил: именно эти преобразования служат изометриями гиперболической плоскости. В 2017 году Maximilian Nickel и Douve Kiela (Facebook AI Research) на NeurIPS опубликовали Poincaré embeddings: иерархическое дерево WordNet (82 000 noun-synsets) вкладывается в 5-мерный диск Пуанкаре с MAP 0.86, тогда как Евклидово вложение размерности 200 даёт всего 0.81. Геометрия XIX века стала state-of-the-art в графовом ML XXI века.

• **Poincaré Embeddings (Nickel-Kiela, NeurIPS 2017):** WordNet с 82 000 узлов в 5D диске Пуанкаре - MAP 0.86 против 0.81 у Евклида в 200D
• **Computer vision (homography):** кросс-отношение четырёх коллинеарных точек - единственный проективный инвариант, используется в OpenCV `findHomography`
• **Circle packing (Thurston, 1985):** алгоритмы Стивенсона и др. строят упаковки кругов через Мёбиусы - применяются в conformal flattening для 3D-mesh
• **SL(2,R)-monodromy:** дифуры Гойна и Пенлеве описываются Мёбиус-действиями фундаментальной группы - инструмент в integrable systems и string theory

Предварительные знания

• Conformal Mappings

Группа Мёбиуса

Дробно-линейные преобразования образуют группу относительно суперпозиции, изоморфную PSL(2, C) = SL(2, C)/{±I}. Это одна из важнейших групп в математике.

**Преобразование Мёбиуса:** f(z) = (az+b)/(cz+d) Соответствует матрице: [[a, b], [c, d]] ∈ SL(2, C) **Композиция = умножение матриц:** f∘g ↔ M_f · M_g **Обратное:** f⁻¹(w) = (dw−b)/(−cw+a) ↔ [[d,−b],[−c,a]]

Неподвижные точки и классификация

Неподвижные точки Мёбиуса-это точки, которые отображаются сами в себя. По ним классифицируют все преобразования.

**Неподвижные точки:** решения (az+b)/(cz+d) = z → cz² + (d−a)z − b = 0 Обычно 2 неподвижные точки (с учётом ∞). Классификация по следу tr = a+d: - **Эллиптическое** (|tr|<2): поворот в диске Пуанкаре - **Гиперболическое** (tr > 2, вещественный): растяжение вдоль вещественной оси - **Параболическое** (tr = ±2): одна неподвижная точка

Сохранение кросс-отношения

Кросс-отношение (двойное отношение) четырёх точек инвариантно относительно преобразований Мёбиуса. Это ключевое свойство для геометрии и компьютерного зрения.

**Кросс-отношение:** (z₁, z₂; z₃, z₄) = (z₁−z₃)(z₂−z₄) / ((z₁−z₄)(z₂−z₃)) **Инвариантность:** для любого Мёбиуса f: (f(z₁), f(z₂); f(z₃), f(z₄)) = (z₁, z₂; z₃, z₄) **Применение:** единственная функция, задаётся 3 точками. Строим Мёбиус, переводящий z₁,z₂,z₃ в 0,1,∞.

Гиперболическая геометрия и диск Пуанкаре

Единичный диск с метрикой Пуанкаре-модель гиперболической геометрии, где изометриями являются преобразования Мёбиуса. Это основа гиперболических нейронных сетей.

**Метрика Пуанкаре на диске |z|<1:** ds = 2|dz| / (1−|z|²) **Расстояние:** d(z, w) = 2 arctanh(|z−w| / |1−w̄z|) **Изометрии:** все Мёбиусы, сохраняющие единичный диск: w = e^{iθ}(z−a)/(1−āz), |a| < 1

Ключевые идеи

• **Группа Мёбиуса ≅ PSL(2,C):** композиция = матричное умножение
• **Неподвижные точки:** параболическое (1), эллиптическое/гиперболическое (2)
• **Кросс-отношение:** инвариант Мёбиуса-основа проективной геометрии
• **Диск Пуанкаре:** гиперболическая геометрия с изометриями-Мёбиусами

Связанные темы

Группа Мёбиуса соединяет комплексный анализ, геометрию и ML:

• Конформные отображения — Мёбиус-частный случай конформного отображения
• Аналитическое продолжение — Мёбиус используется для продолжения функций через симметрию
• Проективная геометрия — Мёбиус над C = проективные прямые над C

Вопросы для размышления

• Почему преобразования Мёбиуса переводят окружности в окружности? Как это следует из матричного представления?
• Каков геометрический смысл след(M) в классификации Мёбиуса?
• Как диск Пуанкаре помогает ML-моделям представлять иерархические структуры лучше, чем евклидово пространство?

Связанные уроки

• la-06-transformations