Комплексный анализ
Функции нескольких комплексных переменных
Хартогс в 1906 году обнаружил: функция, голоморфная вне начала координат в C², продолжается на всё C². Одним наблюдением он разрушил аналогию с одной переменной и создал теорию нескольких комплексных переменных.
- Алгебраическая геометрия: D-модули и микролокальный анализ на нескольких переменных
- Квантовая физика: пространства Фока и голоморфные функции бесконечных переменных
- Теория сигналов: многомерные аналитические сигналы через C^n-голоморфность
Предварительные знания
Явление Хартогса и задача Леви
Хартогс в 1906 году доказал: любая голоморфная функция на C² \ {0} продолжается на всё C². Этот результат перевернул интуицию: изолированные особенности, существующие в одной переменной, в нескольких переменных просто исчезают. Задача Леви (решена Окой, 1942): псевдовыпуклая область является областью голоморфности.
Какова размерность пространства голоморфных функций на C^n по уравнениям Коши - Римана?
Ядро Бохнера - Мартинелли
Интегральное представление в C^n: ядро Бохнера - Мартинелли обобщает интеграл Коши. Для голоморфной f на области D с гладкой границей: f(z) = ∫_{∂D} f(ζ) BM(ζ,z) dσ(ζ). В отличие от ядра Коши в C^1, BM не является проективным оператором, что усложняет теорию.
Что утверждает теорема Хартогса в C^n при n≥2?
Ключевые идеи
- n уравнений КР: ∂f/∂z̄_j = 0 - голоморфность в C^n
- Явление Хартогса: изолированные особенности устранимы при n≥2
- Леви-форма L[rho] ≥ 0 - псевдовыпуклость
- Теорема Ока: псевдовыпуклость ⟺ область голоморфности
- L²-оценки Хёрмандера: ∂̄u=f разрешимо на строго псевдовыпуклых областях
Дальнейшие пути
Изученные концепции открывают следующие разделы.
- ca-28-stein-manifolds — extends
Вопросы для размышления
- Приведите конкретный пример вычисления.
- Как изученные концепции связаны с другими разделами математики?