Комплексная алгебраическая геометрия

Серр в 1956 году доказал GAGA - теорему, связавшую алгебраическую и аналитическую геометрию на проективных многообразиях. Теорема K3-поверхностей с h^{1,1}=20 стала фундаментом зеркальной симметрии и физики струн.

• Зеркальная симметрия: обменивает h^{p,q} и h^{n-p,q} для пар Кэлеровых многообразий
• Теория струн: компактификации на K3 × T² и CY3 - основа суперструнной теории
• Арифметическая геометрия: числа Ходжа связаны с L-функциями через программу Ленглендса

Предварительные знания

• Предыдущий урок

GAGA Серра

Серр в 1956 году доказал: на гладком проективном многообразии X ⊂ P^n категория алгебраических когерентных пучков эквивалентна категории аналитических когерентных пучков. Это GAGA (Géométrie Algébrique et Géométrie Analytique). Следствие: каждое аналитическое расслоение на P^n алгебраично - это O(d) для некоторого d.

Теорема Безу и числа Ходжа

Теорема Безу в P^n: число точек пересечения гиперповерхностей степеней d_1,...,d_n равно произведению d_1·...·d_n (считая с кратностями). Числа Ходжа h^{p,q} поверхности K3: h^{1,1} = 20, h^{2,0} = h^{0,2} = 1, все остальные нулевые - универсальная структура для 22-мерной группы когомологий.

Ключевые идеи

• GAGA: Coh_alg(X) ≃ Coh_an(X) для проективного X
• Разложение Ходжа: H^k(X,C) = ⊕_{p+q=k} H^{p,q}(X)
• h^{p,q} = h^{q,p} = h^{n-p,n-q} (симметрии Ходжа)
• Теорема Безу: #(V(f1)∩...∩V(fn)) = deg f1·...·deg fn в P^n
• K3: h^{1,1}=20, χ=24, H^2 ≅ E8² ⊕ U³

Дальнейшие пути

Изученные концепции открывают следующие разделы.

• ca-28-stein-manifolds — extends

Вопросы для размышления

• Приведите конкретный пример вычисления.
• Как изученные концепции связаны с другими разделами математики?