Математический анализ

Применения производной

Цели урока

Строить касательную и нормаль к графику функции
Определять промежутки монотонности по знаку производной
Находить локальные и глобальные экстремумы
Исследовать выпуклость и находить точки перегиба
Решать прикладные задачи на оптимизацию

Предварительные знания

Техника дифференцирования
Цепное правило
Понимание геометрического смысла производной

Метод Ньютона (1685) находит корни уравнений итерациями $x_{n+1} = x_n - f(x_n)/f'(x_n)$ — производная как направление спуска. Полтора века спустя Лагранж формулирует условия экстремума через множители. В XX веке это превратилось в выпуклую оптимизацию: Boyd & Vandenberghe (2004), CVXPY, scipy.optimize. Каждый раз, когда SGD обновляет веса нейросети, он использует именно $-\eta f'(x)$ — производную как указатель к минимуму.

**Метод Ньютона в scipy.optimize.newton**: находит корни за O(log log(1/ε)) итераций — квадратичная сходимость благодаря производной
**SGD / Adam в PyTorch**: $\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \nabla L$ — градиент указывает направление, шаг $\eta$ масштабирует. Без производной обучение случайно
**Boeing 787 wing**: оптимизация формы крыла минимизирует drag-coefficient $C_D(\alpha, M)$. Условие $\partial C_D / \partial \alpha = 0$ даёт оптимальный угол атаки
**Black-Scholes hedge**: дельта опциона $\Delta = \partial V / \partial S$ — производная цены опциона по цене актива, основа дельта-хеджирования на $10^{14}$ долларов рынка деривативов

Ферма и начало оптимизации

Задолго до Ньютона и Лейбница французский математик Пьер де Ферма разработал метод нахождения максимумов и минимумов. Его идея была гениально простой: в точке экстремума "приращение функции исчезает". Ферма применял этот метод к задачам об оптимальных траекториях света (принцип Ферма: свет идёт по пути наименьшего времени). Когда Лейбниц создал дифференциальное исчисление, он признал, что метод Ферма был "тенью" производной.

Касательная и нормаль

Геометрический смысл производной даёт нам готовый инструмент для построения касательной. $f'(a)$ - это угловой коэффициент касательной в точке $(a, f(a))$.

**Уравнение касательной** к графику $y = f(x)$ в точке $(a, f(a))$:

Или в привычном виде: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$

**Нормаль** - прямая, перпендикулярная касательной. Если касательная имеет угловой коэффициент $k$, то нормаль имеет коэффициент $-1/k$:

Касательная к параболе

Найти касательную к y = x² в точке x = 2

$f(x) = x^2$, точка $a = 2$ **Шаг 1**: Найдём значение функции $f(2) = 4$, точка касания: $(2, 4)$ **Шаг 2**: Найдём производную $f'(x) = 2x$ $f'(2) = 4$ - угловой коэффициент **Шаг 3**: Составим уравнение $y - 4 = 4(x - 2)$ $y = 4x - 4$ **Проверка**: касательная проходит через $(2, 4)$ ✓

Какое уравнение касательной к графику $y = x^3$ в точке $x = 1$?

$f(1) = 1$, $f'(x) = 3x^2$, $f'(1) = 3$. Уравнение: $y - 1 = 3(x - 1)$, то есть $y = 3x - 2$.

Монотонность функции

Производная - это **скорость изменения**. Если скорость положительная, функция растёт. Если отрицательная - убывает. Это ключевая связь:

Знак f'(x)	Поведение f(x)	Визуально
$f'(x) > 0$	Функция возрастает	↗ (вверх слева направо)
$f'(x) < 0$	Функция убывает	↘ (вниз слева направо)
$f'(x) = 0$	Функция постоянна	→ (горизонтально)

**Алгоритм нахождения промежутков монотонности:** 1. Найти $f'(x)$ 2. Решить $f'(x) = 0$ (критические точки) 3. Отметить точки на числовой прямой 4. Определить знак $f'$ на каждом интервале 5. Записать ответ

Промежутки монотонности

Исследовать f(x) = x³ - 3x на монотонность

**Шаг 1**: $f'(x) = 3x^2 - 3 = 3(x^2 - 1) = 3(x-1)(x+1)$ **Шаг 2**: $f'(x) = 0$ при $x = -1$ и $x = 1$ **Шаг 3**: Знаки на интервалах: • $(-\infty, -1)$: подставим $x = -2$: $f'(-2) = 3(4-1) = 9 > 0$ ↗ • $(-1, 1)$: подставим $x = 0$: $f'(0) = -3 < 0$ ↘ • $(1, +\infty)$: подставим $x = 2$: $f'(2) = 9 > 0$ ↗ **Ответ**: • Возрастает на $(-\infty, -1)$ и $(1, +\infty)$ • Убывает на $(-1, 1)$

На каком интервале функция $f(x) = x^2 - 4x$ убывает?

$f'(x) = 2x - 4 = 2(x - 2)$. При $x < 2$ производная отрицательна, функция убывает.

Локальные экстремумы

Точки, где функция достигает локального максимума или минимума, называются **экстремумами**. Это вершины холмов и дно впадин на графике.

Критические точки

**Критические точки** - это точки, где:

$f'(x) = 0$ (касательная горизонтальна)
$f'(x)$ не существует (излом, вертикальная касательная)

**Важно**: критическая точка - это только **кандидат** на экстремум! Не каждая критическая точка даёт экстремум.

Необходимое условие экстремума

**Теорема Ферма**: если $x_0$ - точка локального экстремума и $f'(x_0)$ существует, то $f'(x_0) = 0$.

Это необходимое, но **не достаточное** условие. Чтобы подтвердить экстремум, нужны дополнительные проверки.

Достаточные условия экстремума

**Способ 1: Первая производная** (смена знака)

Смена знака f'	Тип экстремума
+ → − (с положительного на отрицательный)	Локальный максимум
− → + (с отрицательного на положительный)	Локальный минимум
+ → + или − → − (знак не меняется)	Нет экстремума

**Способ 2: Вторая производная** (если $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) \neq 0$)

Знак f''(x₀)	Тип экстремума
$f''(x_0) < 0$	Локальный максимум (график выгнут вниз)
$f''(x_0) > 0$	Локальный минимум (график выгнут вверх)
$f''(x_0) = 0$	Нужен дополнительный анализ

Нахождение экстремумов

Найти экстремумы функции f(x) = x³ - 3x

**Шаг 1**: Найдём критические точки $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$ $x^2 = 1$ $x = -1$ и $x = 1$ **Шаг 2**: Используем вторую производную $f''(x) = 6x$ $f''(-1) = -6 < 0$ ⟹ **локальный максимум** в $x = -1$ $f''(1) = 6 > 0$ ⟹ **локальный минимум** в $x = 1$ **Шаг 3**: Найдём значения $f(-1) = (-1)^3 - 3(-1) = -1 + 3 = 2$ $f(1) = 1 - 3 = -2$ **Ответ**: максимум $(−1, 2)$, минимум $(1, −2)$

Если f'(x₀) = 0, то x₀ - точка экстремума

f'(x₀) = 0 - необходимое, но не достаточное условие. Нужно проверить смену знака или вторую производную

Контрпример: $f(x) = x^3$. Имеем $f'(0) = 0$, но в точке $x = 0$ нет экстремума - это точка перегиба. Производная не меняет знак (отрицательна слева и справа от нуля? Нет! Она положительна с обеих сторон).

Функция $f(x) = x^4$ имеет $f'(0) = 0$ и $f''(0) = 0$. Что в точке $x = 0$?

Глобальные экстремумы на отрезке

Если функция непрерывна на отрезке $[a, b]$, она достигает своих **наибольшего** и **наименьшего** значений (теорема Вейерштрасса). Эти значения достигаются либо в критических точках, либо на концах отрезка.

**Алгоритм нахождения глобальных экстремумов на $[a, b]$:** 1. Найти все критические точки внутри $(a, b)$ 2. Вычислить значения $f$ во всех критических точках 3. Вычислить значения $f(a)$ и $f(b)$ 4. Выбрать наибольшее и наименьшее

Глобальные экстремумы

Найти наибольшее и наименьшее значения f(x) = x³ - 3x на [−2, 2]

**Шаг 1**: Критические точки $f'(x) = 3x^2 - 3 = 0$ ⟹ $x = ±1$ (обе в интервале) **Шаг 2**: Значения в критических точках $f(-1) = 2$, $f(1) = -2$ **Шаг 3**: Значения на концах $f(-2) = -8 + 6 = -2$ $f(2) = 8 - 6 = 2$ **Шаг 4**: Сравниваем Значения: $-2, -2, 2, 2$ **Ответ**: • Наибольшее значение $2$ достигается в $x = -1$ и $x = 2$ • Наименьшее значение $-2$ достигается в $x = 1$ и $x = -2$

В чём ключевая идея раздела «Глобальные экстремумы на отрезке»?

Перескажите главное определение или результат раздела одним предложением.

Выпуклость и точки перегиба

**Вторая производная** говорит о том, как меняется сама производная - то есть о **кривизне** графика.

Знак f''(x)	Форма графика	Описание
$f''(x) > 0$	Выпукла вниз (вогнута)	Улыбка 😊, чашка
$f''(x) < 0$	Выпукла вверх	Грустное лицо 😞, холм

**Точка перегиба** - точка, где график меняет направление выпуклости (где $f''$ меняет знак).

Выпуклость и точка перегиба

Исследовать f(x) = x³

$f(x) = x^3$ $f'(x) = 3x^2$ $f''(x) = 6x$ $f''(x) = 0$ при $x = 0$ **Знаки**: • При $x < 0$: $f''(x) < 0$ - выпукла вверх • При $x > 0$: $f''(x) > 0$ - выпукла вниз **Ответ**: точка перегиба в $(0, 0)$

Сколько точек перегиба у функции $f(x) = x^4 - 6x^2$?

$f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1) = 0$ при $x = ±1$. В обеих точках $f''$ меняет знак, значит это точки перегиба.

Задачи на оптимизацию

Это **главное практическое применение** производной! Схема решения:

**Понять задачу**: что максимизировать/минимизировать?
**Ввести переменные**: обозначить величины
**Составить функцию**: выразить целевую величину
**Учесть ограничения**: если много переменных, выразить одну через другую
**Найти экстремум**: производная = 0, проверить достаточное условие
**Ответить на вопрос**: не забыть вернуться к исходной задаче

Классическая задача оптимизации

Максимальная площадь прямоугольника при заданном периметре

**Задача**: из проволоки длиной 20 м нужно согнуть прямоугольник максимальной площади. **Шаг 1**: Переменные Пусть $x$ и $y$ - стороны прямоугольника **Шаг 2**: Ограничение (периметр) $2x + 2y = 20$, откуда $y = 10 - x$ **Шаг 3**: Целевая функция (площадь) $S = xy = x(10 - x) = 10x - x^2$ **Шаг 4**: Область определения $x > 0$ и $y = 10 - x > 0$ ⟹ $0 < x < 10$ **Шаг 5**: Экстремум $S' = 10 - 2x = 0$ ⟹ $x = 5$ $S'' = -2 < 0$ ⟹ максимум **Шаг 6**: Ответ $x = 5$, $y = 10 - 5 = 5$ $S_{max} = 25$ м² **Вывод**: прямоугольник максимальной площади - **квадрат**!

**Изопериметрическое свойство**: среди всех прямоугольников с заданным периметром наибольшую площадь имеет квадрат. Среди всех фигур с заданным периметром наибольшую площадь имеет круг!

Минимальный материал

Оптимальные размеры цилиндрической банки

**Задача**: изготовить цилиндрическую банку объёмом 1 литр с минимальным расходом материала (минимальная площадь поверхности). **Данные**: $V = 1000$ см³ **Переменные**: радиус $r$, высота $h$ **Ограничение**: $V = \pi r^2 h = 1000$ ⟹ $h = \frac{1000}{\pi r^2}$ **Целевая функция** (площадь поверхности): $S = 2\pi r^2 + 2\pi r h = 2\pi r^2 + \frac{2000}{r}$ **Производная**: $S' = 4\pi r - \frac{2000}{r^2} = 0$ $4\pi r^3 = 2000$ $r^3 = \frac{500}{\pi}$ $r = \sqrt[3]{\frac{500}{\pi}} \approx 5.4$ см **Высота**: $h = \frac{1000}{\pi r^2} \approx 10.8$ см $\approx 2r$ **Вывод**: оптимальная банка имеет высоту, равную диаметру!

В задачах на оптимизацию всегда ищем f'(x) = 0

Экстремум может достигаться на границе области определения

Если $x \in [0, 10]$, максимум может быть в точке $x = 0$ или $x = 10$, даже если внутри есть критические точки. Всегда проверяйте границы!

В чём ключевая идея раздела «Задачи на оптимизацию»?

Перескажите главное определение или результат раздела одним предложением.

Полное исследование функции

Объединим все инструменты для полного анализа функции:

**Область определения** $D(f)$
**Чётность/нечётность**: $f(-x) = f(x)$ или $f(-x) = -f(x)$?
**Нули и знаки**: $f(x) = 0$, промежутки знакопостоянства
**Асимптоты**: вертикальные, горизонтальные, наклонные
**Производная** $f'(x)$: критические точки, монотонность
**Вторая производная** $f''(x)$: выпуклость, точки перегиба
**Экстремумы**: локальные max/min
**График**: собираем всё вместе

**Наклонная асимптота**: если $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = k$ и $\lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = b$, то $y = kx + b$ - наклонная асимптота.

В чём ключевая идея раздела «Полное исследование функции»?

Перескажите главное определение или результат раздела одним предложением.

Куда ведёт этот урок

Применения производной - это мост между теорией и практикой:

Интегральное исчисление — Обратная задача: по производной восстановить функцию
Дифференциальные уравнения — Моделирование динамических процессов
Многомерная оптимизация — Градиентный спуск в Machine Learning
Вариационное исчисление — Оптимизация функционалов, а не функций

Итоги

**Касательная**: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ - уравнение через производную
**Монотонность**: $f' > 0$ ⟹ возрастание, $f' < 0$ ⟹ убывание
**Экстремумы**: критические точки ($f' = 0$ или не существует) + проверка достаточного условия
**Выпуклость**: $f'' > 0$ - выпукла вниз, $f'' < 0$ - выпукла вверх
**Оптимизация**: составить функцию + найти экстремум + не забыть про границы

Вопросы для размышления

Почему условие $f'(x_0) = 0$ необходимое, но не достаточное для экстремума?
В задачах на оптимизацию когда максимум может достигаться на границе, а не в критической точке?
Как связаны вторая производная и "ускорение" функции?
Почему квадрат имеет максимальную площадь среди прямоугольников с данным периметром?

Связанные уроки

stat-03-mle

Математический анализ

Применения производной

Цели урока

Строить касательную и нормаль к графику функции
Определять промежутки монотонности по знаку производной
Находить локальные и глобальные экстремумы
Исследовать выпуклость и находить точки перегиба
Решать прикладные задачи на оптимизацию

Предварительные знания

Техника дифференцирования
Цепное правило
Понимание геометрического смысла производной

**Метод Ньютона в scipy.optimize.newton**: находит корни за O(log log(1/ε)) итераций — квадратичная сходимость благодаря производной
**SGD / Adam в PyTorch**: $\theta_{t+1} = \theta_t - \eta \nabla L$ — градиент указывает направление, шаг $\eta$ масштабирует. Без производной обучение случайно
**Boeing 787 wing**: оптимизация формы крыла минимизирует drag-coefficient $C_D(\alpha, M)$. Условие $\partial C_D / \partial \alpha = 0$ даёт оптимальный угол атаки
**Black-Scholes hedge**: дельта опциона $\Delta = \partial V / \partial S$ — производная цены опциона по цене актива, основа дельта-хеджирования на $10^{14}$ долларов рынка деривативов

Ферма и начало оптимизации

Касательная и нормаль

**Уравнение касательной** к графику $y = f(x)$ в точке $(a, f(a))$:

Или в привычном виде: $y = f(a) + f'(a)(x - a)$

Касательная к параболе

Найти касательную к y = x² в точке x = 2

Какое уравнение касательной к графику $y = x^3$ в точке $x = 1$?

$f(1) = 1$, $f'(x) = 3x^2$, $f'(1) = 3$. Уравнение: $y - 1 = 3(x - 1)$, то есть $y = 3x - 2$.

Монотонность функции

Знак f'(x)	Поведение f(x)	Визуально
$f'(x) > 0$	Функция возрастает	↗ (вверх слева направо)
$f'(x) < 0$	Функция убывает	↘ (вниз слева направо)
$f'(x) = 0$	Функция постоянна	→ (горизонтально)

Промежутки монотонности

Исследовать f(x) = x³ - 3x на монотонность

На каком интервале функция $f(x) = x^2 - 4x$ убывает?

$f'(x) = 2x - 4 = 2(x - 2)$. При $x < 2$ производная отрицательна, функция убывает.

Локальные экстремумы

Критические точки

**Критические точки** - это точки, где:

$f'(x) = 0$ (касательная горизонтальна)
$f'(x)$ не существует (излом, вертикальная касательная)

**Важно**: критическая точка - это только **кандидат** на экстремум! Не каждая критическая точка даёт экстремум.

Необходимое условие экстремума

**Теорема Ферма**: если $x_0$ - точка локального экстремума и $f'(x_0)$ существует, то $f'(x_0) = 0$.

Это необходимое, но **не достаточное** условие. Чтобы подтвердить экстремум, нужны дополнительные проверки.

Достаточные условия экстремума

**Способ 1: Первая производная** (смена знака)

Смена знака f'	Тип экстремума
+ → − (с положительного на отрицательный)	Локальный максимум
− → + (с отрицательного на положительный)	Локальный минимум
+ → + или − → − (знак не меняется)	Нет экстремума

**Способ 2: Вторая производная** (если $f'(x_0) = 0$ и $f''(x_0) \neq 0$)

Знак f''(x₀)	Тип экстремума
$f''(x_0) < 0$	Локальный максимум (график выгнут вниз)
$f''(x_0) > 0$	Локальный минимум (график выгнут вверх)
$f''(x_0) = 0$	Нужен дополнительный анализ

Нахождение экстремумов

Найти экстремумы функции f(x) = x³ - 3x

Если f'(x₀) = 0, то x₀ - точка экстремума

f'(x₀) = 0 - необходимое, но не достаточное условие. Нужно проверить смену знака или вторую производную

Функция $f(x) = x^4$ имеет $f'(0) = 0$ и $f''(0) = 0$. Что в точке $x = 0$?

Глобальные экстремумы на отрезке

Глобальные экстремумы

Найти наибольшее и наименьшее значения f(x) = x³ - 3x на [−2, 2]

В чём ключевая идея раздела «Глобальные экстремумы на отрезке»?

Перескажите главное определение или результат раздела одним предложением.

Выпуклость и точки перегиба

**Вторая производная** говорит о том, как меняется сама производная - то есть о **кривизне** графика.

Знак f''(x)	Форма графика	Описание
$f''(x) > 0$	Выпукла вниз (вогнута)	Улыбка 😊, чашка
$f''(x) < 0$	Выпукла вверх	Грустное лицо 😞, холм

**Точка перегиба** - точка, где график меняет направление выпуклости (где $f''$ меняет знак).

Выпуклость и точка перегиба

Исследовать f(x) = x³

Сколько точек перегиба у функции $f(x) = x^4 - 6x^2$?

$f''(x) = 12x^2 - 12 = 12(x^2 - 1) = 0$ при $x = ±1$. В обеих точках $f''$ меняет знак, значит это точки перегиба.

Задачи на оптимизацию

Это **главное практическое применение** производной! Схема решения:

**Понять задачу**: что максимизировать/минимизировать?
**Ввести переменные**: обозначить величины
**Составить функцию**: выразить целевую величину
**Учесть ограничения**: если много переменных, выразить одну через другую
**Найти экстремум**: производная = 0, проверить достаточное условие
**Ответить на вопрос**: не забыть вернуться к исходной задаче

Классическая задача оптимизации

Максимальная площадь прямоугольника при заданном периметре

Минимальный материал

Оптимальные размеры цилиндрической банки

В задачах на оптимизацию всегда ищем f'(x) = 0

Экстремум может достигаться на границе области определения

В чём ключевая идея раздела «Задачи на оптимизацию»?

Перескажите главное определение или результат раздела одним предложением.

Полное исследование функции

Объединим все инструменты для полного анализа функции:

**Область определения** $D(f)$
**Чётность/нечётность**: $f(-x) = f(x)$ или $f(-x) = -f(x)$?
**Нули и знаки**: $f(x) = 0$, промежутки знакопостоянства
**Асимптоты**: вертикальные, горизонтальные, наклонные
**Производная** $f'(x)$: критические точки, монотонность
**Вторая производная** $f''(x)$: выпуклость, точки перегиба
**Экстремумы**: локальные max/min
**График**: собираем всё вместе

**Наклонная асимптота**: если $\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{x} = k$ и $\lim_{x \to \infty} (f(x) - kx) = b$, то $y = kx + b$ - наклонная асимптота.

В чём ключевая идея раздела «Полное исследование функции»?

Перескажите главное определение или результат раздела одним предложением.

Куда ведёт этот урок

Применения производной - это мост между теорией и практикой:

Интегральное исчисление — Обратная задача: по производной восстановить функцию
Дифференциальные уравнения — Моделирование динамических процессов
Многомерная оптимизация — Градиентный спуск в Machine Learning
Вариационное исчисление — Оптимизация функционалов, а не функций

Итоги

**Касательная**: $y - f(a) = f'(a)(x - a)$ - уравнение через производную
**Монотонность**: $f' > 0$ ⟹ возрастание, $f' < 0$ ⟹ убывание
**Экстремумы**: критические точки ($f' = 0$ или не существует) + проверка достаточного условия
**Выпуклость**: $f'' > 0$ - выпукла вниз, $f'' < 0$ - выпукла вверх
**Оптимизация**: составить функцию + найти экстремум + не забыть про границы

Вопросы для размышления

Почему условие $f'(x_0) = 0$ необходимое, но не достаточное для экстремума?
В задачах на оптимизацию когда максимум может достигаться на границе, а не в критической точке?
Как связаны вторая производная и "ускорение" функции?
Почему квадрат имеет максимальную площадь среди прямоугольников с данным периметром?

Связанные уроки

stat-03-mle