Математический анализ
Первообразные
Цели урока
- Понять связь между первообразной и производной
- Освоить таблицу основных интегралов
- Применять свойства линейности интеграла
- Вычислять неопределённые интегралы базовых функций
- Проверять результат интегрирования дифференцированием
Предварительные знания
- Производные элементарных функций
- Правила дифференцирования
- Цепное правило
Спор о приоритете между Ньютоном и Лейбницем (1699–1716) расколол британскую и континентальную математику на век. Ньютон называл это «методом флюэнт» — обратной операцией к флюксиям. Лейбниц нашёл символ $\int$ из вытянутой буквы S (summa). Сегодня тот же значок означает одно: восстановить функцию по её скорости изменения. Каждая физическая задача — от траектории ракеты до накопленной радиации в реакторе — это поиск первообразной.
- **NASA Artemis (2022)**: расчёт траектории Orion — двойное интегрирование ускорения двигателей и гравитации. Ошибка в первообразной — это промах в десятки километров на 400 000 км пути
- **Аккумулятор Tesla Powerwall**: ёмкость в кВт·ч — интеграл мощности по времени, $E = \int_0^T P(t)\,dt$. Биллинг электричества буквально вычисляет первообразную
- **Доза радиации (Зв)**: накопленная доза — интеграл мощности дозы $\dot{D}(t)$ по времени экспозиции. ICRP-103 регламентирует именно эту первообразную для работников АЭС
- **Sympy.integrate**: реализует алгоритм Риша (1968) — частичный аналог решения уравнений в радикалах для интегралов. Возвращает либо closed form, либо честное «не существует в элементарных функциях»
Два пути к интегралу
Ньютон назвал первообразную "флюентой" (от лат. fluens - текущий), а Лейбниц ввёл символ ∫ - стилизованную букву S от латинского "summa". Оба независимо открыли, что интегрирование и дифференцирование - обратные операции. Это открытие, известное как **Основная теорема анализа**, объединило две казавшиеся разными задачи: нахождение касательных и вычисление площадей.
Что такое первообразная?
Что такое первообразная?
Рассмотрим скорость автомобиля $v(t)$, заданную в каждый момент времени. Как найти путь $s(t)$? Нужна функция, производная которой равна скорости: $s'(t) = v(t)$.
**Определение**: функция $F(x)$ называется **первообразной** для $f(x)$ на интервале, если в каждой точке этого интервала: $$F'(x) = f(x)$$
Интегрирование - операция, **обратная дифференцированию**. Если производная "разбирает" функцию, показывая скорость изменения, то интеграл "собирает" обратно.
Простейшие первообразные
Проверяем дифференцированием
**Задача**: найти первообразную для $f(x) = 2x$ **Решение**: ищем $F(x)$ такую, что $F'(x) = 2x$ Вспомним: $(x^2)' = 2x$ ✓ Значит $F(x) = x^2$ - первообразная для $f(x) = 2x$ **Но!** $(x^2 + 5)' = 2x$ тоже! ✓ И $(x^2 - 100)' = 2x$ ✓ Первообразных **бесконечно много**: $F(x) = x^2 + C$
Какая из функций является первообразной для $f(x) = 3x^2$?
$(x^3)' = 3x^2$ и $(x^3 + 7)' = 3x^2$. Обе функции - первообразные, они отличаются на константу.
Неопределённый интеграл
Неопределённый интеграл
Поскольку первообразных бесконечно много (отличаются константой), вводят понятие **неопределённого интеграла** - множества всех первообразных:
Здесь: - $\int$ - знак интеграла (удлинённая S от summa) - $f(x)$ - подынтегральная функция - $dx$ - дифференциал переменной (указывает, по чему интегрируем) - $F(x)$ - какая-либо первообразная - $C$ - произвольная постоянная
**Почему $+C$ обязательна?** Производная константы равна нулю: $(C)' = 0$. Поэтому если $F'(x) = f(x)$, то и $(F(x) + C)' = f(x)$ для любой константы $C$.
Геометрически: все первообразные $F(x) + C$ - это **параллельный сдвиг** одного графика вдоль оси $y$. Они имеют одинаковый наклон в каждой точке (производную), но расположены на разной высоте.
Константу C можно не писать, это же просто число
Константа C - существенная часть ответа, без неё решение неполное
Неопределённый интеграл - это МНОЖЕСТВО функций, а не одна функция. Запись $F(x) + C$ показывает всё семейство. На практике: начальные условия задачи определяют конкретное значение $C$.
Чему равен $\int 0\,dx$?
Первообразная для нуля - любая константа, так как $(C)' = 0$. Поэтому $\int 0\,dx = C$.
Таблица основных интегралов
Таблица основных интегралов
Таблица интегралов - это таблица производных, прочитанная "наоборот". Если знаете, что $(\sin x)' = \cos x$, то $\int \cos x\,dx = \sin x + C$.
Степенные функции
| Функция $f(x)$ | Интеграл $\int f(x)\,dx$ | Условие |
|---|---|---|
| $x^n$ | $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ | $n \neq -1$ |
| $\frac{1}{x} = x^{-1}$ | $\ln|x| + C$ | $x \neq 0$ |
| $\frac{1}{\sqrt{x}} = x^{-1/2}$ | $2\sqrt{x} + C$ | $x > 0$ |
**Мнемоника для степени**: "Увеличь показатель на 1, раздели на новый показатель". $\int x^n\,dx = \frac{x^{n+1}}{n+1}$ (при $n \neq -1$)
Показательные функции
| Функция $f(x)$ | Интеграл $\int f(x)\,dx$ |
|---|---|
| $e^x$ | $e^x + C$ |
| $a^x$ ($a > 0, a \neq 1$) | $\frac{a^x}{\ln a} + C$ |
Тригонометрические функции
| Функция $f(x)$ | Интеграл $\int f(x)\,dx$ |
|---|---|
| $\sin x$ | $-\cos x + C$ |
| $\cos x$ | $\sin x + C$ |
| $\frac{1}{\cos^2 x} = \sec^2 x$ | $\tan x + C$ |
| $\frac{1}{\sin^2 x} = \csc^2 x$ | $-\cot x + C$ |
**Внимание со знаками!** - $\int \sin x\,dx = -\cos x + C$ (минус!) - $\int \frac{1}{\sin^2 x}\,dx = -\cot x + C$ (минус!)
Интегралы, дающие обратные тригонометрические функции
| Функция $f(x)$ | Интеграл $\int f(x)\,dx$ |
|---|---|
| $\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arcsin x + C$ |
| $-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$ | $\arccos x + C$ |
| $\frac{1}{1+x^2}$ | $\arctan x + C$ |
| $-\frac{1}{1+x^2}$ | $\text{arccot}\,x + C$ |
Чему равен $\int x^{-3}\,dx$?
По формуле: $\int x^{-3}\,dx = \frac{x^{-2}}{-2} + C = -\frac{1}{2x^2} + C$. Это один и тот же ответ в разных записях.
Свойства неопределённого интеграла
Свойства неопределённого интеграла
Интеграл обладает свойством **линейности** - это следует из линейности производной.
1. Интеграл суммы = сумма интегралов
2. Константу можно выносить
3. Интеграл и производная - обратные операции
Применение линейности
Интеграл многочлена
$\int (3x^2 + 2x - 5)\,dx$ **Шаг 1**: Разбиваем на слагаемые $= \int 3x^2\,dx + \int 2x\,dx - \int 5\,dx$ **Шаг 2**: Выносим константы $= 3\int x^2\,dx + 2\int x\,dx - 5\int 1\,dx$ **Шаг 3**: Применяем таблицу $= 3 \cdot \frac{x^3}{3} + 2 \cdot \frac{x^2}{2} - 5x + C$ **Шаг 4**: Упрощаем $= x^3 + x^2 - 5x + C$ **Проверка**: $(x^3 + x^2 - 5x + C)' = 3x^2 + 2x - 5$ ✓
Приведение к табличному виду
Преобразуем перед интегрированием
$\int \frac{x^2 + 1}{x}\,dx$ **Шаг 1**: Разделим каждое слагаемое $= \int \left( x + \frac{1}{x} \right)\,dx$ **Шаг 2**: Интегрируем $= \int x\,dx + \int \frac{1}{x}\,dx$ $= \frac{x^2}{2} + \ln|x| + C$
Чему равен $\int (e^x - \sin x)\,dx$?
$\int e^x\,dx = e^x$, $\int \sin x\,dx = -\cos x$. Итого: $e^x - (-\cos x) = e^x + \cos x + C$.
Проверка результата
Проверка результата
В отличие от производных, у интегрирования нет универсального алгоритма. Но есть **идеальный способ проверки**: продифференцируйте ответ!
**Золотое правило**: если $\int f(x)\,dx = F(x) + C$, то обязательно $F'(x) = f(x)$
Проверка интеграла
Дифференцируем результат
**Утверждение**: $\int \frac{1}{1+x^2}\,dx = \arctan x + C$ **Проверка**: $(\arctan x + C)' = \frac{1}{1+x^2} + 0 = \frac{1}{1+x^2}$ ✓ Ответ верен!
**Совет**: Всегда проверяйте сложные интегралы дифференцированием. Это занимает минуту, но спасает от ошибок!
В чём ключевая идея раздела «Проверка результата»?
Перескажите главное определение или результат раздела одним предложением.
Путь к определённому интегралу
Первообразные - это первый шаг в интегральном исчислении:
- Определённый интеграл — Площадь под графиком - следующий урок
- Основная теорема анализа — Связь между площадью и первообразной
- Методы интегрирования — Замена переменной, по частям, дроби
- Дифференциальные уравнения — Нахождение функции по её производной
Итоги
- **Первообразная**: $F'(x) = f(x)$ - функция, производная которой равна данной
- **Неопределённый интеграл**: $\int f(x)\,dx = F(x) + C$ - семейство всех первообразных
- **Константа $C$**: обязательна, показывает бесконечность первообразных
- **Линейность**: $\int (af + bg)\,dx = a\int f\,dx + b\int g\,dx$
- **Проверка**: дифференцирование ответа должно давать подынтегральную функцию
Вопросы для размышления
- Почему интегрирование сложнее дифференцирования (нет универсального алгоритма)?
- В чём геометрический смысл произвольной константы $C$?
- Как связаны таблица производных и таблица интегралов?
- Почему формула $\int x^n\,dx$ не работает при $n = -1$?