Связности и теория калибровок

Что такое параллельный перенос на скрученном пространстве и почему голономия вокруг контура измеряет кривизну расслоения?

• Квантовая хромодинамика (КХД) описывает сильное взаимодействие кварков связностью на SU(3)-расслоении - уравнения Янга-Миллса проверены с точностью 10^{-12} в экспериментах на БАК
• Эффект Ааронова-Бома: электрон при обходе соленоида снаружи приобретает квантовую фазу exp(i*e/hbar * ∫A) даже там где B=0 - это голономия U(1)-связности, подтверждённая экспериментально в 1960 году Чемберсом
• Алгоритмы SLAM в компьютерном зрении накапливают голономию SO(3)-связности при отслеживании ориентации объекта через серию кадров и используют это для коррекции дрейфа
• Неабелева голономия (berry phase) при адиабатическом переносе параметров квантовой системы реализует квантовые ворота без декогеренции - основа топологических квантовых вычислений

Связи с другими темами

Связности объединяют дифференциальную геометрию с физикой полей и топологией. Пространство модулей связностей по действию калибровочной группы - центральный объект в теории Дональдсона и программе Лэнглендса.

• Уравнения Максвелла — Электромагнетизм - теория U(1)-связностей: F=dA, dF=0 (Бианки), d*F=j (уравнения движения); фотоны - кванты связности
• Общая теория относительности — Связность Леви-Чивита на TM - частный случай; кривизна = тензор Римана; гравитация - это связность на SO(3,1)-расслоении репёров
• Инварианты Черна-Симонса — 3-форма CS(A) = tr(A ∧ dA + 2/3 A ∧ A ∧ A) калибровочно инвариантна с точностью до точной формы; её интеграл - топологический инвариант узлов и 3-многообразий
• Неабелева теория Ходжа — Плоские связности (F=0) соответствуют представлениям pi_1(M) в G; пространство модулей плоских связностей - пространство Хиттина, центральное в геометрической программе Лэнглендса

Итоги

• Связность на G-расслоении - 1-форма A in Omega^1(M,g), задающая G-инвариантное горизонтальное расщепление T_p P
• При калибровочном преобразовании g: M->G: A' = g^{-1}dg + g^{-1}Ag, F' = g^{-1}Fg; наблюдаемые (F, голономии) калибровочно инвариантны
• Кривизна F = dA + A∧A; для U(1) F=dA - тензор Максвелла; для неабелевых групп квадратичный член A∧A даёт самодействие
• Тождество Бианки D_A F = 0 - дифференциальное следствие определения F; обобщает div B = 0
• Параллельный перенос - P exp(∫_gamma A) in G; для плоской связности (F=0) зависит только от [gamma] in pi_1(M)
• Уравнения Янга-Миллса D_A *F = 0 лежат в основе КХД; инстантоны (F=*F) минимизируют функционал и дают инварианты Дональдсона

Форма кривизны F = dA + A∧A для абелевой группы U(1) упрощается до:

Для U(1) алгебра Ли u(1) = iR абелева: [A,A] = A∧A = 0 (внешнее произведение 1-формы с собой равно нулю). Остаётся F = dA - тензор Максвелла. Уравнения движения D_A *F = 0 принимают вид d*F = 0, т.е. div E = 0 (в вакууме) и rot B = dE/dt.