Многообразия Эйнштейна

Уравнения Эйнштейна описывают саму структуру пространства-времени - это высший синтез геометрии и физики.

• Эйнштейновы многообразия используются в теории струн для компактификации.
• В ОТО вакуумные уравнения означают, что Вселенная - эйнштейново многообразие.

Предварительные знания

• Предыдущий урок

Условие Эйнштейна

Альберт Эйнштейн в 1915 году записал уравнения общей теории относительности: Ric - (1/2)Rg = 8πG·T/c⁴. В вакууме (T=0) они дают условие Эйнштейна Ric = λg, где λ - космологическая константа. Многообразие, удовлетворяющее этому условию, называется эйнштейновым.

Теорема Обаты и классификация

Теорема Обаты характеризует стандартную сферу среди эйнштейновых многообразий: если компактное эйнштейново многообразие с λ>0 допускает нетривиальную конформную функцию, то оно изометрично сфере. Это фундаментальный результат в классификации.

Ключевые идеи

• Ric=λg - определение эйнштейнова многообразия.
• Сфера, CP^n и K3 - канонические примеры.
• Теорема Обаты характеризует сферу конформно.

Дальнейшие пути

Изученные конструкции открывают путь к смежным разделам геометрии.

• dg-28 — extends

Вопросы для размышления

• Чем эйнштейново многообразие отличается от многообразия постоянной секционной кривизны?
• Почему K3 называют риччи-плоской?