Функциональный анализ
K-теория операторов
Цели урока
- Понять построение K_0(A) через классы проекторов Мюррея-фон Неймана
- Освоить K_1(A) через гомотопии унитариев и шестичленную точную последовательность
- Знать периодичность Боттa и её следствие K_{n+2} = K_n
- Понимать теорему Атья-Зингера как спаривание K-теоретических классов
Предварительные знания
- C*-алгебры и алгебры фон Неймана
- Банаховы алгебры
- Основы топологии K-теории
Почему топологические фазы материи - изоляторы, сверхпроводники, квантовый эффект Холла - устойчивы к возмущениям? Ответ: они классифицируются целыми числами из K_0-группы, которые не могут непрерывно меняться.
- Топологические изоляторы (Нобелевская премия 2016): число Черна C_1 in K_0 классифицирует топологическую фазу; Bi_2Se_3 имеет C_1 = 1
- Квантовый зал эффект: проводимость точно равна e^2/h * integer - число Черна, K-теоретический инвариант
- Квантовые вычисления: защищённые кубиты на базе топологических изоляторов используют K_0-инварианты для устойчивости к декогеренции
- Сети нейронов и топологические особенности: число Черна нейронного поля данных - направление исследований в топологическом ML
От топологической K-теории к операторной
Гротендик в 1957 году создал K-теорию алгебраических расслоений над схемами - алгебраическая K-теория. Атья и Хирцебрух в 1961 году определили топологическую K-теорию K^0(X) как группу Гротендика расслоений на X. Атья и Зингер в 1963-1968 годах доказали индексную теорему. Браун, Дуглас и Филмор в 1973-1977 годах связали K-теорию и расширения C*-алгебр (BDF-теория). Каспаров в 1980-1981 годах построил KK-теорию, обобщив всё. В 2016 году нобелевский комитет отметил: топологические фазы вещества - это K-теория в действии.
K_0 - группа классов проекций
Нобелевская премия по физике 2016 года - топологические изоляторы. Топологические фазы классифицируются числами Черна - элементами K_0-группы C*-алгебры гамильтониана. Атья и Хирцебрух в 1961 году определили топологическую K-теорию для пространств. Каспаров в 1980-х распространил её на C*-алгебры через KK-теорию.
Число Черна - элемент K_0(C*-алгебры бёльк-квантового гамильтониана). Для топологических изоляторов оно принимает только целые значения (квантование Черна) - и именно это делает топологические фазы устойчивыми к малым возмущениям.
Что классифицирует K_0(A) для C*-алгебры A?
K_0(A) = Gr(V(A)): Гротендикова группа классов проекторов. Два проектора p, q в матричных алгебрах над A эквивалентны (p ~ q), если существует частичная изометрия v с v*v = p, vv* = q.
K_1 и шестичленная точная последовательность
K_1(A) - группа унитарных элементов алгебры по гомотопии. Для C(S^1): K_0 = Z x Z, K_1 = Z x Z. Число намотки петли в GL_n - элемент K_1. Шестичленная точная последовательность - аналог последовательности Майера-Виеториса в топологии - связывает K_0 и K_1 алгебры и её идеала.
| Алгебра A | K_0(A) | K_1(A) | Интерпретация |
|---|---|---|---|
| C | Z | 0 | Ранг проектора (натуральное число) |
| M_n(C) | Z | 0 | Ранг проектора в M_n |
| K(H) компактные | Z | 0 | Счётный ранг компактного проектора |
| C(S^1) функции на окружности | Z | Z | K_0: [1], K_1: число намотки |
| C(S^2) | Z x Z | 0 | K_0: ранг + число Черна |
| C_0(R) | 0 | Z | Периодичность: K_1(C_0(R)) = K_0(C) = Z |
Что утверждает периодичность Боттa в K-теории?
Периодичность Боттa: K_0(SA) = K_1(A), K_1(SA) = K_0(A). Следствие: K_n(A) = K_{n mod 2}(A). Достаточно вычислить K_0 и K_1 - все остальные периодически повторяются.
KK-теория Каспарова и применения
Каспаров в 1980-1981 годах создал KK-теорию: бифунктор KK(A, B) обобщает K-теорию и расширения C*-алгебр. Пересечение продукта Каспарова: KK(A, B) x KK(B, C) -> KK(A, C) - некоммутативный аналог теоремы Атья-Зингера. Приложения: доказательство гипотезы Новикова для широких классов групп.
Топологические изоляторы и K-теория
K_0 как классифицирующее пространство
Топологический изолятор - квантовый материал с запрещённой зоной в объёме и проводящими краевыми состояниями. Фаза классифицируется числом Черна C_1 in K_0(C*-алгебры гамильтониана). Реальный пример: Bi_2Se_3 имеет C_1 = 1 - нетривиальная топологическая фаза. Это защищено топологически: малые возмущения не могут перевести C_1 = 1 в C_1 = 0 без закрытия щели.
Что вычисляет биварийная K-теория KK(A, B)?
KK(A,B) = классы гомотопии Каспаровских A-B-биварийных модулей. Пересечение Каспарова: KK(A,B) x KK(B,C) -> KK(A,C) - некоммутативная теорема о составных индексах.
Индексные теоремы через K-теорию
Теорема Атья-Зингера (1963) - одна из центральных теорем математики XX века. Индекс = dim ker D - dim ker D* для эллиптического оператора D на компактном многообразии M вычисляется через топологические характеристические классы. Это аналитическое число = топологическое число - глубокая связь анализа и топологии.
Частные случаи теоремы Атья-Зингера: теорема Гаусса-Бонне (ind = число Эйлера chi(M)), теорема о подписи Хирцебруха (ind = сигнатура формы пересечения), теорема Римана-Роха (ind = dim H^0 - dim H^1 для дивизоров). Все они - следствия одной формулы.
Что утверждает теорема Атья-Зингера об индексе?
Теорема Атья-Зингера: ind(D) = dim ker D - dim ker D* = integral hat{A}(M) ^ ch(sigma(D)). Индекс - целочисленный топологический инвариант, не меняющийся при компактных возмущениях D.
Связи с другими темами
K-теория операторов - мост между алгеброй, топологией и физикой.
- C*-алгебры и алгебры фон Неймана — Операторная K-теория - функтор из C*-алгебр в абелевы группы
- Некоммутативная геометрия Конна — Спарение K-теории с циклическими когомологиями даёт некоммутативный индекс Атьи-Зингера
- Банаховы алгебры — K-теория переносится на банаховы алгебры через идемпотенты и обратимые элементы
Итоги
- K_0(A): Гротендикова группа классов проекторов p ~ q (Мюррей-фон Нейман); K_0(M_n) = Z
- K_1(A): классы гомотопии унитарных матриц GL_n(A) / GL_n(A)_0
- Шестичленная точная последовательность для идеала I < A; граничный гомоморфизм partial
- Периодичность Боттa: K_0(SA) = K_1(A), K_1(SA) = K_0(A); K-теория 2-периодична
- Теорема Атья-Зингера: ind(D) = integral hat{A}(M) ^ ch(sigma(D)); аналит. = топол.
Вопросы для размышления
- Почему K-теоретические инварианты (числа Черна) принимают только целые значения, и как это связано с устойчивостью топологических фаз?
- В чём принципиальная связь между K_0 (проекторы) и K_1 (унитарии) через точную последовательность и периодичность Боттa?
- Как теорема Атья-Зингера объединяет теоремы Гаусса-Бонне, Римана-Роха и теорему о подписи в одной формуле?