Геометрические преобразования

Цели урока

• Записывать поворот, масштабирование, отражение и сдвиг матрицами 2x2
• Использовать однородные координаты, чтобы перенос вошёл в матричное умножение
• Композировать преобразования через произведение матриц справа налево
• Различать аффинные и проективные преобразования по сохраняемым инвариантам
• Узнавать те же примитивы в GPU pipeline, NeRF, SLAM и data augmentation

Каждый кадр в Vulkan и Metal проходит через 4x4 матрицу. RTX 4090 делает порядка 100 миллионов таких умножений в секунду - и это до того как пиксель попадёт на экран. NeRF и Tesla Autopilot решают обратную задачу: восстановить 3D-сцену, обратив те же матрицы.

• **CSS/SVG transforms (W3C, 2012):** matrix(a,b,c,d,tx,ty) - аффинная 3x3 на каждом анимированном UI-компоненте
• **GPU pipeline (OpenGL/Vulkan/Metal):** model→view→projection - три 4x4 умножения на каждую вершину
• **Tesla Autopilot и ARKit:** SLAM строит карту через композицию camera extrinsics, миллионы матриц в секунду
• **torchvision.transforms.RandomAffine:** data augmentation в CV - случайные аффинные на каждом батче
• **Spatial Transformer Networks (Jaderberg, 2015):** CNN сама учится генерировать аффинную матрицу

Эрлангенская программа Феликса Клейна

В 1872 году Феликс Клейн прочитал вступительную лекцию в Эрлангенском университете и предложил единую организующую идею: геометрия - это изучение свойств, инвариантных относительно группы преобразований. Евклидова геометрия отвечает группе движений твёрдого тела. Аффинная геометрия стоит на ступень выше, отбрасывая длины и углы, но сохраняя параллельность. Проективная геометрия идёт ещё выше и сохраняет только прямолинейность. Эрлангенская программа - причина, по которой графический инженер в 2026 году по-прежнему работает с той же иерархией изометрия, подобие, аффинное, проективное, которую Клейн заложил сто пятьдесят четыре года назад.

Предварительные знания

• Координатная геометрия и векторы на плоскости
• Умножение матриц и его свойства

• Coordinate Geometry
• Перемножение матриц

Основные преобразования

Каждый кадр в Vulkan и Metal проходит через 4x4 матрицу: вершина модели умножается на model, потом view, потом projection. RTX 4090 делает порядка 100 миллионов таких умножений в секунду - и это до того как пиксель попадёт на экран.

Геометрические преобразования - перенос, поворот, отражение, масштабирование - представляются умножением на матрицу. Это позволяет комбинировать их за O(1) и переносить вычисление на GPU, где параллельно умножаются миллионы вершин по одной формуле. Пайплайн model→view→projection - буквально умножение трёх матриц перемножение матриц в строгом порядке.

OpenGL и Vulkan ровно эти матрицы и считают - shader-код vertex stage умножает вершину на uniform-матрицу преобразования. В CUDA-ядрах NVIDIA каждый warp обрабатывает 32 вершины параллельно по той же формуле.

Однородные координаты

Перенос нельзя выразить умножением на матрицу 2x2: f(x) = x + t не линейно (нет f(0) = 0). Однородные координаты добавляют третью компоненту и позволяют включить перенос в матрицу - все 2D-преобразования становятся 3x3, все 3D - 4x4. Именно поэтому WebGL, ARKit и Tesla Autopilot работают с матрицами 4x4 даже для плоских задач: одна форма умножения покрывает и линейную часть, и сдвиг.

**2D однородные координаты:** точка (x, y) становится (x, y, 1) **Матрица переноса на (tx, ty):** [[1, 0, tx], [0, 1, ty], [0, 0, 1]] **Полная 2D матрица:** [[sx·cosθ, -sy·sinθ, tx], [sx·sinθ, sy·cosθ, ty], [0, 0, 1]]

CSS `transform: matrix(a,b,c,d,tx,ty)` - это ровно однородная матрица [[a,c,tx],[b,d,ty],[0,0,1]]. Каждый animated React-компонент с transform пересчитывает её на каждом кадре GPU compositor-а в Chromium и Safari.

Дополнительный бонус: однородные координаты дают язык для проективной геометрии. Точки на бесконечности получают вид (x, y, 0) - параллельные прямые встречаются в одной "идеальной" точке. На этом построен SLAM в компьютерном зрении и системы pose estimation в ARKit, где одна 4x4 кодирует и поворот камеры, и её сдвиг, и перспективу.

Композиция преобразований

Главное преимущество матричного подхода - произведение матриц даёт составное преобразование. Вместо применения N матриц к каждой точке - один раз умножить N матриц, получить одну, потом применять её. В робототехнике это и есть DH-параметры (Denavit-Hartenberg, 1955): кинематическая цепь манипулятора - произведение 4-6 матриц, каждая описывает одно сочленение, итог - положение схвата.

**Порядок важен.** Матричное умножение не коммутативно: Поворот затем перенос != Перенос затем поворот M_total = M_last · ... · M_2 · M_1 Точка трансформируется: p' = M_total · p Читается справа налево - точка проходит сначала через M_1, потом M_2, и так далее.

В компьютерном зрении то же самое прячется в camera extrinsics: матрица [R|t] переводит точку из мировой системы координат в систему камеры. SLAM-алгоритмы Tesla Autopilot и ARKit оптимизируют именно эти произведения, минимизируя ошибку проекции по тысячам кадров в секунду.

Аффинные и проективные преобразования

Аффинные преобразования сохраняют параллельность прямых и отношения длин на параллельных направлениях. Проективные - более общий класс, сохраняющий только прямолинейность (прямая остаётся прямой, но параллельные могут пересечься на линии горизонта). Именно проективные матрицы лежат в основе NeRF (Neural Radiance Fields, 2020): нейросеть учится по фотографиям сцены, обращая камерные матрицы и восстанавливая 3D-радиационное поле.

Spatial Transformer Networks (Jaderberg, 2015) встраивают эту матрицу прямо в архитектуру свёрточной сети: модель учится сама генерировать аффинные параметры и поворачивать вход перед классификацией. Та же идея в torchvision.transforms.RandomAffine - data augmentation для ImageNet.

Ключевые идеи

• **Поворот, масштаб, отражение** - матрицы 2x2; перенос требует однородных координат
• **Однородные координаты:** (x,y) → (x,y,1), матрица 3x3 включает перенос
• **Композиция:** M_total = M_n·...·M_1 - порядок умножения справа налево
• **Аффинные** сохраняют параллельность; **проективные** - только прямолинейность

Связанные темы

Матрицы преобразований - переход к 3D и проективной геометрии:

• Пространственная геометрия — 3D: матрицы 4x4 в однородных координатах
• Проективная геометрия — Гомография = 3x3 матрица (8 DOF) над однородными координатами
• Векторная геометрия — Матрицы преобразований - линейные операторы над векторами

Вопросы для размышления

• Почему порядок преобразований важен? Какой пример показывает, что поворот+перенос != перенос+поворот?
• Как вычисляется обратное преобразование? Что такое обратная матрица в контексте аффинных преобразований?
• Почему в WebGL используют матрицы 4x4 даже для 2D-графики?

Связанные уроки

• la-07-matrix-multiply — Композиция преобразований - произведение матриц
• la-13-linear-maps — Аффинные отображения как линейные операторы
• geo-12 — Гомография и проективные преобразования над 3x3
• ml-29-cnn — Spatial transformer networks и data augmentation
• cv-05 — Camera extrinsics и SLAM используют те же 4x4
• la-01-vectors-intro