Теория информации
Квантовая теория информации: кубиты и энтропия фон Неймана
Квантовые компьютеры Google и IBM решают задачи, которые классическому суперкомпьютеру потребовали бы тысячи лет. Как квантовая механика меняет фундаментальные пределы обработки информации? И почему квантовый ключ защищён законами физики, а не математической сложностью?
- **Квантовое распределение ключей (QKD)**: BB84 уже используется банками и правительствами - перехват физически невозможен из-за no-cloning
- **Квантовые компьютеры**: surface codes - квантовые коды исправления ошибок, основа Google Willow и IBM Heron
- **Постквантовая криптография**: NIST 2024 стандартизировал алгоритмы (Kyber, Dilithium), устойчивые к квантовым атакам (Shora, Grover)
Предварительные знания
Кубит: квантовый бит
5G мобильная связь (3GPP Release 16, 2020) достигает 20 Гбит/с - Shannon-Hartley предел для 100 МГц канала с SNR=30 дБ. Классический бит - это 0 или 1. **Кубит** - это квантовое состояние, которое может находиться в **суперпозиции**: одновременно и 0, и 1 с определёнными амплитудами. При измерении суперпозиция «коллапсирует» к одному из базисных состояний с вероятностями, задаваемыми амплитудами.
Ключевое отличие кубита от вероятностного бита: **фаза имеет значение**. Состояния |+⟩ и |−⟩ дают одинаковые вероятности при измерении в Z-базисе, но ведут себя по-разному в другом базисе. Именно интерференция между амплитудами (не вероятностями) делает квантовые вычисления мощными.
Два запутанных кубита в состоянии Белла: |Φ+⟩ = (|00⟩ + |11⟩)/√2 - это состояние, которое нельзя записать как |ψ₁⟩ ⊗ |ψ₂⟩. Измерение первого кубита мгновенно «определяет» состояние второго, независимо от расстояния. Это нарушает интуицию, но не нарушает теорию информации: случайные результаты не позволяют передавать информацию быстрее света.
Кубит |ψ⟩ = (3/5)|0⟩ + (4/5)|1⟩ измеряется. Какова вероятность получить 1?
Энтропия фон Неймана
Классическая энтропия Шеннона описывает неопределённость в классических вероятностных источниках. Квантовый аналог - **энтропия фон Неймана** - описывает неопределённость квантовых состояний, включая «чисто квантовую» неопределённость из-за запутанности.
Этот парадокс - S(ρ_A) > S(ρ_AB) - невозможен классически! В классике H(X) ≤ H(X,Y) всегда. В квантовом мире подсистема может быть «более неопределённой», чем целая система. Это прямое следствие запутанности и означает, что квантовая информация принципиально отличается от классической.
| Характеристика | Энтропия Шеннона H | Энтропия фон Неймана S |
|---|---|---|
| Объект | Классическое распределение p | Матрица плотности ρ |
| Минимум | H = 0 (детерминированное) | S = 0 (чистое состояние) |
| Максимум | H = log n (равномерное) | S = log d (I/d) |
| Условная | H(A|B) ≥ 0 всегда | S(A|B) может быть < 0 (!) |
| Аддитивность | H(A,B) = H(A) + H(B|A) | S(ρ_AB) ≤ S(ρ_A) + S(ρ_B) |
Система из двух запутанных кубитов находится в состоянии Белла |Φ+⟩ = (|00⟩+|11⟩)/√2. Чему равна S(ρ_AB)?
Теорема о запрете клонирования
В классическом мире информацию легко скопировать: `cp file.txt copy.txt`. В квантовом мире это фундаментально невозможно. **Теорема о запрете клонирования** (Wootters, Zurek, 1982): нельзя создать точную копию произвольного неизвестного квантового состояния.
Эта теорема имеет огромные практические последствия. **Квантовая криптография (QKD)**: невозможность перехватить квантовый ключ без разрушения - прямое следствие no-cloning. **Квантовая телепортация**: состояние передаётся, оригинал уничтожается (teleportation ≠ cloning). **Квантовые коммуникации**: репитеры сложнее, чем классические.
Протокол BB84 (Bennett & Brassard, 1984) использует no-cloning theorem для безопасного обмена ключами. Если Ева перехватывает кубиты, она вынуждена их измерять (тем самым разрушая суперпозицию) - и это обнаруживается через статистику ошибок. Квантовый ключ защищён законами физики, а не вычислительной сложностью. Уже существуют коммерческие QKD-системы.
Почему нельзя клонировать произвольное квантовое состояние?
Граница Холево: сколько классических бит в кубите?
Кубит имеет бесконечно много состояний (непрерывная сфера Блоха). Сколько классической информации он может передать? Интуиция говорит - бесконечно много. Теорема Холево (1973) отвечает: **не более 1 бита** классической информации на один кубит.
**Superdense coding** (Bennett & Wiesner, 1992) - удивительный протокол: используя 1 кубит + 1 ebit (заранее разделённую запутанность), можно передать 2 классических бита. Это самая высокая известная пропускная способность при данных ресурсах. Обходит границу Холево, потому что ebit - дополнительный ресурс.
| Ресурсы | Результат | Протокол |
|---|---|---|
| 1 кубит (без запутанности) | ≤ 1 классический бит | Кодирование в базисе Блоха |
| 1 кубит + 1 ebit | 2 классических бита | Superdense coding |
| 2 классических бита + 1 ebit | 1 кубит | Квантовая телепортация |
| n кубитов (без шума) | n классических бит | Граница Холево достижима |
Квантовая теорема о пропускной способности (Lloyd, Shor, Devetak): Q = max (S(ρ_out) - S_e), где S_e - entropy exchange. Для erasure channel: Q = 1 - p. Квантовые коды исправления ошибок (surface codes, stabilizer codes) - это квантовый аналог кодов с исправлением ошибок урока 07, основа квантовых компьютеров Google, IBM, IonQ.
Сколько классических бит максимально можно передать через 1 кубит (без предварительной запутанности)?
Ключевые идеи
- **Кубит** |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ - суперпозиция с вероятностями |α|², |β|² при измерении
- **Энтропия фон Неймана** S(ρ) = -Tr(ρ log ρ): S=0 для чистых состояний, может нарушать S(A) ≤ S(A,B)
- **No-cloning theorem**: невозможно скопировать произвольное квантовое состояние - следствие линейности КМ
- **Граница Холево**: 1 кубит несёт не более 1 классического бита; superdense coding (2 бита) требует ebit
Связанные темы
Квантовая теория информации - квантовый аналог классической теории Шеннона:
- Энтропия Шеннона — S(ρ) - квантовое обобщение H(p); совпадают для диагональных ρ
- Коды с исправлением ошибок — Квантовые коды (surface, stabilizer) - квантовый аналог классических ECC
- Канал связи и пропускная способность — Квантовая ёмкость канала Q - квантовый аналог теоремы Шеннона
Вопросы для размышления
- Квантовый компьютер может взломать RSA за полиномиальное время (алгоритм Шора). Означает ли это, что вся современная криптография устарела? Что защищает QKD?
- Энтропия фон Неймана подсистемы может превышать энтропию системы целиком. Что это означает физически? Как это нарушает классическую интуицию?
- No-cloning theorem запрещает копирование квантового состояния. Но квантовая телепортация передаёт состояние. В чём принципиальная разница?