Линейная алгебра
Линейная алгебра в квантовой механике и Quantum ML
IBM Quantum открыл бесплатный доступ к 127-кубитному компьютеру. Google Sycamore выполнил вычисление за 200 секунд, которое классическому суперкомпьютеру потребовало бы 10 000 лет. Весь этот мир работает на линейной алгебре над комплексными числами: кубит - вектор, гейт - унитарная матрица.
- IBM Quantum: 127-кубитный Eagle processor доступен через Qiskit - Python API + BLAS под капотом
- VQE (Variational Quantum Eigensolver): минимизация ⟨ψ|H|ψ⟩ - задача на собственные значения
- Квантовая криптография: BB84 - протокол на базе ортогональных квантовых состояний
- PennyLane: дифференцируемое программирование квантовых схем с PyTorch autograd
- Алгоритм Шора: факторизация через квантовое преобразование Фурье (унитарная матрица 2^n x 2^n)
**IBM Quantum даёт бесплатный доступ к 127-кубитному квантовому компьютеру прямо сейчас.** Google Sycamore выполнил вычисление, которое заняло бы у классического суперкомпьютера 10 000 лет - за 200 секунд. Pennylane и Qiskit позволяют запускать квантовые схемы на реальном железе или симуляторах с PyTorch-совместимым autograd. Весь этот мир работает на одном фундаменте: линейная алгебра над комплексными числами.
Квантовая механика, если очистить её от мистики физики, - это **словарь**. *Кубит* = единичный вектор в $\mathbb{C}^2$. *Гейт* = унитарная матрица. *Измерение* = проекция на собственный вектор. *Запутанность* = тензорное произведение, которое не факторизуется. Если ты уже свободно владеешь линейной алгеброй, квантовые вычисления у тебя в кармане на 90%. Этот урок даст оставшиеся 10%: bra-ket нотацию и почему комплексные числа тут критичны.
Кубит: единичный вектор в C²
Классический бит - 0 или 1. ~Кубит~{квантовый бит - вектор |ψ⟩ в C², |α|²+|β|²=1} - **суперпозиция**: |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩, где α, β - комплексные числа, |α|² + |β|² = 1. Базисные состояния |0⟩ = (1, 0)ᵀ и |1⟩ = (0, 1)ᵀ - просто стандартные базисные векторы C².
Квантовые гейты = унитарные матрицы
Каждая операция над кубитом - умножение на ~унитарную матрицу~{U†U = I, сохраняет норму вектора состояния}. Требование U†U = I - это ровно то, что вероятности |α|² + |β|² = 1 сохраняются: ||U·ψ||² = ||ψ||² = 1.
**Матрицы Паули** X, Y, Z - и эрмитовы (H = H†, наблюдаемые), и унитарные (U†U = I, гейты) одновременно. Это уникально: в классической механике такого нет. Собственные значения ±1 - единственные возможные результаты измерения.
Измерение = проекция на собственный вектор
Когда кубит измеряется, он «коллапсирует» в один из собственных векторов наблюдаемого оператора. Вероятность - квадрат модуля проекции. Это не мистика - это стандартная проекция вектора на базис:
Тензорное произведение: многокубитные системы
Пространство n кубитов - тензорное произведение: C² ⊗ C² ⊗ ... ⊗ C² = C^(2ⁿ). Два кубита - это вектор в C⁴, три - в C⁸. В PyTorch `torch.kron(A, B)` вычисляет тензорное произведение матриц. Это та же операция что `np.kron` - и используется для построения гейтов на многокубитных системах.
**Запутанность через ранг матрицы**: двухкубитное состояние (a, b, c, d) можно записать как матрицу 2x2 [[a, b], [c, d]]. Если ранг = 1 - состояние сепарабельно (произведение двух кубитов). Ранг = 2 - запутанное. Bell state [[0.707, 0], [0, 0.707]] имеет ранг 2.
Quantum ML: VQE, QAOA и вариационные схемы
**Variational Quantum Eigensolver (VQE)** - гибридный квантово-классический алгоритм. Квантовая схема готовит параметрическое состояние |ψ(θ)⟩, классический оптимизатор минимизирует ⟨ψ(θ)|H|ψ(θ)⟩. Это буквально нейросеть, где слои - это унитарные матрицы, а функция потерь - квантово-механическое ожидаемое значение.
**QAOA** (Quantum Approximate Optimization Algorithm) - квантовый аналог градиентного спуска для задач комбинаторной оптимизации. Схема чередует два унитарных оператора: e^(-iγC) (проблемный гамильтониан) и e^(-iβB) (оператор смешивания). Это матричные экспоненты в действии - предыдущий урок.
**Pennylane** от Xanadu - PyTorch для квантовых схем. Квантовые гейты имеют autograd, можно делать `loss.backward()` как в обычной нейросети. Hybrid quantum-classical ML - это уже не теория: компании как Zapata, QML.ai, 1QBit работают в этом пространстве.
Квантовая эволюция = матричная экспонента
Уравнение Шрёдингера iℏ d|ψ⟩/dt = H|ψ⟩, где H - эрмитов гамильтониан (H = H†). Решение: |ψ(t)⟩ = e^(-iHt/ℏ)|ψ(0)⟩. Это матричная экспонента от антиэрмитовой матрицы (-iH). Поскольку (-iH)† = iH† = iH = -(-iH), матрица -iH антиэрмитова - и eᴬ для антиэрмитовой A является унитарной. Гейты - это просто фиксированные значения этой эволюции.
Практика: квантовые гейты
Кубит как вектор: состояния, гейты и унитарные матрицы
Кубит - единичный вектор в $\mathbb{C}^2$: $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$, где $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$. Состояния $|0\rangle = (1,0)^\top$ и $|1\rangle = (0,1)^\top$ - стандартный базис. Квантовый гейт - унитарная матрица $U$ ($U^\dagger U = I$), применяется как $|\psi'\rangle = U|\psi\rangle$.
**Ключевые гейты (матрицы 2x2):** - Паули-X (NOT): $X = \begin{pmatrix}0&1\\1&0\end{pmatrix}$ - переворачивает $|0\rangle \leftrightarrow |1\rangle$ - Адамара: $H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$ - создаёт суперпозицию $H|0\rangle = \frac{|0\rangle+|1\rangle}{\sqrt{2}}$ - Фазовый: $S = \begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}$ - поворот фазы
Схема как матричное произведение
Последовательность гейтов
Схема из $n$ последовательных гейтов $U_n, \ldots, U_1$ - это произведение матриц: $U_{\text{total}} = U_n \cdots U_1$. Для 5-кубитной схемы из 20 гейтов: 20 умножений матриц $32 \times 32$. Симуляция $n$ кубитов на классическом компьютере: $O(2^n)$ памяти и времени - именно поэтому квантовые компьютеры интересны для $n > 50$.
Почему квантовые гейты должны быть унитарными матрицами ($U^\dagger U = I$)?
Квантовое состояние - единичный вектор ($|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$, сумма вероятностей = 1). Унитарная матрица сохраняет норму: $\langle\psi|U^\dagger U|\psi\rangle = \langle\psi|\psi\rangle = 1$. Это физическое требование сохранения вероятности.
Запутанность, тензорные произведения и Quantum ML
Состояние двух кубитов - вектор в $\mathbb{C}^4 = \mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2$. Разделимое состояние: $|\psi\rangle = |\psi_1\rangle \otimes |\psi_2\rangle$. Запутанное состояние не разлагается в тензорное произведение: пример - состояние Белла $|\Phi^+\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(|00\rangle + |11\rangle)$.
**Quantum ML (QML)**: вариационные квантовые схемы (VQC) - это параметрические унитарные матрицы $U(\theta)$. Обучение: минимизировать $\langle\psi|H|\psi\rangle$ по $\theta$ через классическую оптимизацию. PennyLane (Xanadu) и Qiskit позволяют обучать такие схемы с PyTorch-совместимым autograd. Текущий статус (2024): NISQ-эра - шум мешает преимуществу над классикой для большинства задач.
VQE: нахождение основного состояния молекулы
Quantum Chemistry
VQE (Variational Quantum Eigensolver): найти минимальное собственное значение гамильтониана $H$ молекулы $H_2$. $H$ - эрмитова матрица $4 \times 4$ (2 кубита). Параметрическая схема $U(\theta)$ готовит состояние $|\psi(\theta)\rangle$. Минимизируем $E(\theta) = \langle\psi(\theta)|H|\psi(\theta)\rangle$ - это задача нахождения наименьшего собственного значения через вариационный принцип.
Почему симуляция $n$-кубитной квантовой системы на классическом компьютере требует $O(2^n)$ памяти?
$\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^2 \otimes \ldots \otimes \mathbb{C}^2 = \mathbb{C}^{2^n}$. Вектор состояния $n$ кубитов имеет $2^n$ комплексных амплитуд. При $n=50$: $2^{50} \approx 10^{15}$ комплексных чисел - $\sim$16 петабайт. При $n=300$ - больше атомов во Вселенной.
Состояние «равной суперпозиции» (|+⟩): |+⟩ = (1/√2)|0⟩ + (1/√2)|1⟩ = (1/√2, 1/√2)ᵀ Вероятность измерить 0: |1/√2|² = 0.5 Вероятность измерить 1: |1/√2|² = 0.5 Проверка нормировки: |α|² + |β|² = 0.5 + 0.5 = 1 ✓ Общий кубит на сфере Блоха: |ψ⟩ = cos(θ/2)|0⟩ + e^(iφ) sin(θ/2)|1⟩ θ ∈ [0, π], φ ∈ [0, 2π) → Все кубиты = точки на единичной сфере в R³
| Гейт | Матрица | Действие | Аналог в ML |
|---|---|---|---|
| X (NOT) | [[0,1],[1,0]] | |0⟩↔|1⟩ - квантовый NOT | Перестановка признаков |
| H (Адамар) | [[1,1],[1,-1]]/√2 | |0⟩→|+⟩ суперпозиция | Фурье-базис / Walsh-Hadamard |
| Z (Phase flip) | [[1,0],[0,-1]] | Знак у |1⟩ | Отражение в R² |
| RY(θ) | [[cos θ/2, -sin θ/2],[sin θ/2, cos θ/2]] | Поворот на Блохе | Параметрический слой в VQC |
Наблюдаемая: Z = [[1, 0], [0, -1]] Собственные векторы: |0⟩ (для λ=+1) и |1⟩ (для λ=-1) Состояние: |ψ⟩ = α|0⟩ + β|1⟩ Вероятность получить +1: |⟨0|ψ⟩|² = |α|² Вероятность получить -1: |⟨1|ψ⟩|² = |β|² Ожидаемое значение: ⟨Z⟩ = ⟨ψ|Z|ψ⟩ = |α|² · (+1) + |β|² · (-1) = |α|² - |β|² Это скалярное произведение с матрицей - формула, знакомая по методу наименьших квадратов.
Пусть A = -iH, где H = H† (эрмитов). Тогда A† = (-iH)† = iH† = iH = -A (антиэрмитова) Проверим: (eᴬ)† · eᴬ = e^(A†) · eᴬ = e^(-A) · eᴬ = e^(A-A) = e⁰ = I → eᴬ унитарна. Значит: квантовая механика требует, чтобы гамильтонианы были эрмитовыми → эволюция унитарна → вероятности сохраняются. Всё это - следствие свойств матричной экспоненты.
- **Состояние системы**: Единичный вектор в C^(2ⁿ) для n кубитов
- **Квантовый гейт**: Унитарная матрица U, U†U = I
- **Измерение / наблюдаемая**: Эрмитова матрица H = H†; результат = собственное значение
- **Запутанность**: Ранг матрицы коэффициентов > 1 (Schmidt rank)
- **VQE / QAOA**: Параметрические унитарные матрицы + классическая оптимизация
Упражнения
- Почему квантовые гейты обязаны быть унитарными матрицами? Какой физический принцип за этим стоит? — Сумма вероятностей = ||ψ||² = 1 должна сохраняться после любой операции; ||Uψ||² = ψ†U†Uψ = ψ†Iψ = ||ψ||² только если U†U = I; Унитарность = изометрия в комплексном пространстве: расстояния сохраняются
- В чём разница между запутанностью и суперпозицией? Как ранг матрицы помогает это проверить? — Суперпозиция: один кубит в α|0⟩ + β|1⟩ - просто единичный вектор в C²; Запутанность: двухкубитное состояние нельзя разложить в произведение двух состояний; Проверка: reshape (a,b,c,d) → [[a,b],[c,d]], если ранг = 1 - сепарабельно, ранг = 2 - запутано
- Как VQE связан с обычной нейросетью? Что является параметрами, что - функцией потерь? — Параметры = углы поворотов в параметрических гейтах RY(θ), RZ(φ) и т.д.; Функция потерь = ⟨ψ(θ)|H|ψ(θ)⟩ - ожидаемое значение гамильтониана; Оптимизация классическая (COBYLA, Adam), квантовая схема лишь вычисляет значение
Что унести из урока
- **Кубит = единичный вектор в C²**: |ψ⟩ = α|0⟩+β|1⟩, |α|²+|β|²=1 - это просто нормировка
- **Квантовый гейт = унитарная матрица U†U = I** - сохраняет норму, следовательно вероятности
- **Измерение = проекция**: вероятность исхода = квадрат модуля проекции на собственный вектор
- **n кубитов = вектор в C^(2ⁿ)**: тензорное произведение через np.kron, экспоненциальный рост пространства
- **Квантовая эволюция U(t) = e^(-iHt/ℏ)**: матричная экспонента антиэрмитовой матрицы = унитарная
- **VQE/QAOA**: параметрические унитарные матрицы + классическая оптимизация = Quantum ML прямо сейчас
Куда дальше
Квантовые вычисления - конечная точка курса линейной алгебры. Под капотом - те же инструменты, что и в начале.
- Матричные функции — Квантовая эволюция e^(-iHt) - частный случай матричной экспоненты
- Тензорное произведение — Многокубитные системы - тензорное произведение пространств C²
- Спектральная теория графов — Матрица Лапласа и квантовые гамильтонианы - схожие структуры в разных областях