Математическая логика
Форсинг Коэна: независимость гипотезы континуума
В 1900 году Давид Гильберт поставил проблему континуума первой в списке 23 главных математических задач. В 1963 году 29-летний Пол Коэн доказал её неразрешимость из ZFC - единственный математик, получивший Филдсовскую медаль за работу в математической логике.
- Метод форсинга применяется в верификации программ: форсинговые расширения моделируют нон-детерминизм. В теоретической информатике форсинг используется для доказательств оракульных разделений классов сложности (Baker-Gill-Solovay 1975).
Частично упорядоченные множества и условия форсинга
Пол Коэн в 1963 году получил Филдсовскую медаль (1966) за доказательство независимости CH от ZFC. Его метод форсинга строит новую модель V[G] из исходной V, добавляя 'обобщённый' элемент G - фильтр над частично упорядоченным множеством (poset) P. В расширенной вселенной можно контролировать мощность 2^aleph_0, доказывая, что ZFC не фиксирует её значение.
Что означает 'p ||- phi' (p форсирует phi)?
Независимость CH: структура доказательства
Для доказательства независимости CH нужно две вещи: (1) непротиворечивость CH с ZFC (Гёдель 1938: в конструктивной вселенной L выполняется CH); (2) непротиворечивость отрицания CH с ZFC (Коэн 1963: форсинг добавляет aleph_2 новых подмножеств omega). Вместе это: Con(ZFC) => (Con(ZFC + CH) и Con(ZFC + negCH)).
Какой кофинальности должен быть kappa, чтобы 2^aleph_0 = aleph_kappa было совместно с ZFC (по теореме Истона)?
Ключевые результаты
- Форсинг строит расширение V[G] добавлением генерического фильтра G над poset P.
- Отношение ||- определимо в V и контролирует истинность в V[G].
- Коэн (1963): ZFC + negCH непротиворечива; вместе с Гёделем (1938) => CH независима.
- Теорема Истона: 2^aleph_0 может равняться любому aleph с несчётной кофинальностью.