Некоммутативная интеграция

Что происходит с теорией меры, когда 'функции' становятся матрицами - и почему это нужно квантовой механике?

• **Квантовая механика:** наблюдаемые - самосопряжённые операторы в B(H); вероятность и интеграция в QM суть некоммутативная теория меры
• **Квантовая информация:** относительная энтропия D(rho||sigma) - некоммутативный аналог KL; основа квантового оценивания состояний
• **Нейронные сети:** матричные нормы Шаттена S_p используются для регуляризации весов; nuclear norm (S_1) даёт низкоранговость в Netflix recommender
• **Случайные матрицы:** свободная вероятность Воикулеску - некоммутативный аналог классической теории вероятностей для предельных спектральных мер

Предварительные знания

• Операторная алгебра и C*-алгебры
• Функциональный анализ и гильбертовы пространства
• Классические пространства L^p и их двойственность

• Предыдущий урок теории меры

Алгебры фон Неймана

Джон фон Нейман в 1936 году искал математический язык для квантовой механики. Классический ответ - алгебры операторов, замкнутые в слабой операторной топологии. Его теорема двойственности (M')' = M превратила топологическое условие в алгебраическое. К 2020 году эти алгебры стали основой quantum information и tensor network methods в моделировании квантовой запутанности в Google Sycamore.

Алгебра B(H) для бесконечномерного H - фактор типа I_infty. Алгебры локальных наблюдаемых в квантовой теории поля - факторы типа III_1 (Connes). Свободная групповая алгебра F_n - фактор типа II_1, изоморфизмы между ними до сих пор открыты.

Следовые состояния и некоммутативные L^p

Идея фон Неймана и Сегала: заменить интеграл по мере следом на операторной алгебре. Цикличность tau(ab) = tau(ba) - некоммутативный аналог симметрии интеграла. На матрицах M_n след даёт L^p-нормы Шаттена, используемые в регуляризации нейронных сетей: nuclear norm (S_1) индуцирует низкоранговость, что критично для матричной факторизации в Netflix recommender.

Nuclear norm ||W||_1 = sum sigma_i в матричной факторизации Netflix Prize заменяет ранг (NP-hard) выпуклой релаксацией. Это - классический случай некоммутативной L^1-нормы в ML.

Модулярная теория и приложения

В 1973 году Минору Томита и Масамичи Такесаки построили модулярную теорию: каждое нормальное состояние на алгебре фон Неймана порождает однопараметрическую группу автоморфизмов sigma_t. В квантовой физике это - временная эволюция KMS-состояний (тепловое равновесие). Сегодня модулярные потоки управляют расчётом quantum relative entropy в квантовой химии Google Quantum AI.