Сплайны

Каждый анимационный кадр в Pixar - это не ключевой кадр. Аниматор ставит позу в кадре 0 и в кадре 24. Всё между ними вычисляет кубический сплайн. Сплайн знает, что движение должно ускоряться и замедляться плавно (C² условие) - поэтому анимация выглядит живой, а не механической. TrueType-шрифт на экране - набор квадратичных B-сплайнов. Корпус iPhone спроектирован NURBS-поверхностями в Rhino. Траектория промышленного манипулятора - кубический сплайн с оптимизацией по jerk.

• **Анимация (Pixar, DreamWorks):** кубические сплайны между ключевыми кадрами с C² гладкостью - аниматор задаёт «ease in/ease out» через касательные в узлах
• **Spline regression / GAM:** B-spline basis в sklearn SplineTransformer, в Prophet для тренда, в R mgcv - nonlinear feature map из одной числовой фичи
• **Robotics (MoveIt, CasADi):** cubic spline waypoints для motion planning, C² автоматически минимизирует jerk без явных ограничений в NLP

Предварительные знания

• Интерполяция: Лагранж, Ньютон и феномен Рунге

Кубические сплайны

Каждый анимационный кадр в Pixar - это не ключевой кадр. Аниматор ставит позу в кадре 0 и в кадре 24. Всё между ними вычисляет кубический сплайн. Сплайн знает: движение должно ускоряться и замедляться плавно - C² условие. Поэтому анимация выглядит живой, а не механической.

**Кубический сплайн** S(x) на узлах x_0 < x_1 < ... < x_n: 1. На каждом интервале [x_i, x_{i+1}] - полином S_i(x) степени <= 3 2. **Интерполяция:** S_i(x_i) = y_i, S_i(x_{i+1}) = y_{i+1} 3. **C¹:** S'_i(x_{i+1}) = S'_{i+1}(x_{i+1}) - касательная непрерывна 4. **C²:** S''_i(x_{i+1}) = S''_{i+1}(x_{i+1}) - кривизна непрерывна Граничные условия: natural (S'' = 0 на краях) или clamped (S' задана на краях).

Сплайн строится через **трёхдиагональную систему** для вторых производных в узлах. Алгоритм прогонки Томаса решает её за O(n) - линейная сложность даже для тысяч узлов. Та же трёхдиагональная структура встречается в implicit time-stepping методах для диффузионных уравнений.

В Prophet (Facebook/Meta) сплайны - буквально building block тренда. Каждый changepoint задаёт узел кусочной линейной или логистической функции. Spline regression - это nonlinear feature map: из одной числовой фичи делается несколько базисных функций, которые GAM складывает линейно. Интерпретируемость сохраняется, нелинейность появляется.

B-сплайны

Кубический сплайн интерполирует - проходит через все точки. B-сплайн аппроксимирует - проходит **рядом** с контрольными точками, притягивается к ним. Это не баг, а фича: перетащить одну точку = изменить только локальный участок кривой. Именно поэтому каждый UI для редактирования кривых (Blender, After Effects, Figma) использует B-сплайн или Безье.

**B-сплайн кривая степени p:** C(t) = sum(i=0..n) P_i * N_{i,p}(t) где P_i - контрольные точки, N_{i,p}(t) - базисные функции Cox-de Boor. **Рекурсия (Cox-de Boor):** - N_{i,0}(t) = 1 если t_i <= t < t_{i+1}, иначе 0 - N_{i,p}(t) = (t - t_i)/(t_{i+p} - t_i) * N_{i,p-1}(t) + (t_{i+p+1} - t)/(t_{i+p+1} - t_{i+1}) * N_{i+1,p-1}(t) **Свойства базиса:** - Локальный носитель: N_{i,p}(t) != 0 только на [t_i, t_{i+p+1}] - Неотрицательность: N_{i,p}(t) >= 0 - Разбиение единицы: sum N_{i,p}(t) = 1

Локальный носитель - ключевое отличие от полинома Лагранжа. Там изменение одной точки пересчитывает **всю** кривую глобально. У B-сплайна степени p изменение контрольной точки P_i затрагивает только p+1 сегментов. В robotics это критично: пересчёт траектории не должен менять поведение руки-манипулятора на участках, которые уже выполнены.

В motion planning (MoveIt, CasADi) кубические B-сплайны задают waypoints траектории робота. Оптимизатор выбирает контрольные точки так, чтобы минимизировать jerk (производную ускорения). C² условие автоматически выполняется - не нужно добавлять его как ограничение в задачу оптимизации. Это экономит тысячи переменных в NLP-задаче.

NURBS и применения в CAD

Полиномиальный B-сплайн не может нарисовать окружность точно - никогда, ни при каком числе точек. Потому что x(t)² + y(t)² = 1 - это не полиномиальное уравнение. Это алгебраический факт. NURBS обходит его элегантно: добавляет **веса** к контрольным точкам и использует рациональные функции (отношение полиномов).

**NURBS кривая:** C(t) = sum(i) w_i * P_i * N_{i,p}(t) / sum(j) w_j * N_{j,p}(t) где w_i > 0 - веса контрольных точек. **Non-Uniform** - узлы могут быть неравномерными **Rational** - отношение двух полиномиальных выражений При w_i = 1 для всех i -> обычный B-сплайн.

NURBS в CAD - это не только красота. В аэрокосмическом ML-пайплайне: Rhino/Solidworks экспортирует NURBS-геометрию -> mesh generation (triangle mesh) -> FEM/CFD симуляция -> эти симуляции становятся training data для aerodynamic surrogate models (нейросеть, которая предсказывает drag за миллисекунды вместо часов CFD). Если геометрия задана точно через NURBS, mesh качественный, surrogate учится лучше.

Ключевые идеи

• **Кубический сплайн:** кусочный полином степени 3 с C² гладкостью; решает феномен Рунге; трёхдиагональная система O(n)
• **B-сплайн:** базисные функции Cox-de Boor; локальный носитель; аппроксимация, не интерполяция; building block GAM и spline regression
• **NURBS:** рациональные B-сплайны с весами; единственный способ точно представить окружность/эллипс; стандарт CAD/CAM (STEP, IGES)
• **Гладкость Cᵏ:** «ease in/ease out» в Pixar - это C² условие в математической записи; выбор между PCHIP (C¹) и natural cubic (C²) - инженерное решение

Связанные темы

Сплайны опираются на интерполяцию и применяются в оптимизации и CAD:

• Интерполяция: Лагранж и Ньютон — Сплайны - ответ на феномен Рунге: низкая степень полинома + много сегментов
• Погрешности и floating point — Трёхдиагональные системы для сплайнов устойчивее полиномов высокой степени к cancellation
• Численное интегрирование — Сплайны - эффективная основа для квадратурных формул высокого порядка

Вопросы для размышления

• C² условие сплайна - это ровно то, что аниматор называет 'ease in / ease out'. Математически: вторая производная непрерывна в каждом узле. Что произойдёт с анимацией, если использовать C¹ (PCHIP) вместо C²?
• B-spline regression в Prophet задаёт тренд через changepoints. Как выбор числа узлов (knots) влияет на bias-variance tradeoff модели?
• NURBS-геометрия -> mesh -> FEM симуляция -> surrogate ML-модель. На каком этапе точность NURBS критична, а на каком достаточно приближения?

Связанные уроки

• nm-02 — Феномен Рунге - мотивация для кусочной интерполяции
• nm-01 — Трёхдиагональные системы решаются в float64 - важна устойчивость
• nm-04 — Квадратуры - интегрирование сплайнов точно и дёшево
• calc-16-taylor — Тейлор - локальное полиномиальное приближение, сплайн - кусочное
• la-15-svd — SVD лежит в основе сплайн-регрессии и GAM-моделей
• la-01-vectors-intro