L-функции и гипотеза BSD

Цели урока

• Понять построение L-функции эллиптической кривой через числа следов Фробениуса
• Сформулировать слабую и сильную формы гипотезы BSD
• Знать частичные доказательства BSD: теорему Коливагина для ранга 0
• Понимать вычислительную эвристику Берча-Свиннертона-Дайера через произведения N_p/p

Предварительные знания

• Эллиптические кривые и группа E(Q)
• Модулярные формы

• Модулярные формы
• Эллиптические кривые

Почему знать число рациональных точек на кривой можно через значение аналитической функции в одной точке?

• Криптография: ранг кривой определяет размер группы точек и применимость ECDH-протоколов
• Численные методы: LMFDB хранит BSD-данные для 3+ млн кривых, используемых в проверке гипотез
• Теория чисел: BSD объединяет анализ (L-функции) и алгебру (группы Галуа) в одном утверждении
• Математика высокого уровня: BSD - прообраз программы Лэнглэндса для других алгебраических объектов

От вычислений на EDSAC 2 до задачи тысячелетия

В 1958-1965 годах Брайан Берч и Питер Свиннертон-Дайер проводили массовые вычисления на компьютере EDSAC 2 в Кембридже. Они вычисляли произведения N_p/p для тысяч эллиптических кривых и заметили: когда кривая имеет много рациональных точек (большой ранг), это произведение стремится к нулю. В 1965 году они сформулировали гипотезу - связь между нулём L-функции и рангом. В 2000 году Институт Клэя включил BSD в список 7 задач тысячелетия.

L-функции эллиптических кривых

Гипотеза Берча и Свиннертона-Дайера - одна из 7 задач тысячелетия Института Клэя с призом 1 000 000 долларов. Она связывает аналитическое поведение L-функции L(E, s) при s=1 с алгебраическим рангом группы рациональных точек E(Q). Гипотеза проверена численно для миллионов кривых, но строгое доказательство отсутствует.

Знак корневого числа epsilon определяет чётность аналитического ранга: при epsilon = -1 ранг нечётный (не менее 1), при epsilon = +1 - чётный (может быть 0). Это единственное, что умеет предсказывать теория без вычислений.

Сильная форма BSD и регулятор

Сильная форма гипотезы BSD не просто утверждает, что ранг равен порядку нуля. Она даёт точную формулу для ведущего коэффициента разложения L(E,s) в ряд Тейлора около s=1. Каждый множитель в правой части - отдельный нетривиальный арифметический инвариант.

Конечность III доказана только для конкретных кривых. В общем случае это открытая проблема, следующая из BSD. Для кривых ранга 0 и 1 конечность III известна (Коливагин, 1990).

Доказательства и частичные результаты

За 60 лет после формулировки BSD в 1965 году получены лишь частичные результаты. Коливагин в 1990 доказал: если L(E,1) не равно нулю, то ранг равен 0. Совместно с теоремой Вайлза о модулярности и работами Коатса-Уайлза это даёт BSD для ранга 0 условно. Для ранга 1 картина неполна.

Для кривых ранга 2 и выше BSD полностью открыта: нет ни одного строгого доказательства в общем случае, только численные эксперименты. Числа Тамагавы и конечность III при r >= 2 - отдельные нерешённые задачи.

Вычислительные аспекты и таблицы кривых

База данных LMFDB содержит данные по более чем 3 миллионам эллиптических кривых над Q. Для каждой - кондуктор, ранг, группа кручения, числа Тамагавы, период, регулятор и численное значение L(E,1). Вся эта информация согласована с BSD с точностью до машинной ошибки.

Именно это произведение Берч и Свиннертон-Дайер вычисляли численно в 1960-х на компьютере EDSAC 2 для тысяч кривых. Паттерн совпадал с нулём L-функции так точно, что авторы решились сформулировать гипотезу.

Связи с другими темами

BSD находится на пересечении аналитической теории чисел, алгебраической геометрии и теории представлений.

• Когомологии этале — Связанная тема
• Теория Ивасавы — Связанная тема
• Теория представлений — Связанная тема

Итоги

• L(E,s) - произведение Эйлера с факторами (1 - a_p * p^{-s} + p^{1-2s})^{-1} по простым хорошей редукции
• Слабая BSD: порядок нуля L(E,s) в точке s=1 равен рангу r группы E(Q)
• Сильная BSD: ведущий коэффициент = (|III| * Omega * R * prod c_p) / |tors|^2
• Коливагин 1990: L(E,1) != 0 влечёт ранг 0 и конечность III - BSD для ранга 0 доказана
• Для ранга >= 2 BSD полностью открыта, поддерживается только численными данными

Вопросы для размышления

• Почему знак корневого числа epsilon = +-1 предсказывает чётность ранга без вычисления самого ранга?
• Что мешает обобщить метод Коливагина (системы Эйлера) на кривые ранга >= 2?
• В чём принципиальная разница между аналитическим рангом (порядок нуля L-функции) и алгебраическим рангом (число независимых точек)?

Связанные уроки

• nt-22 — Модулярные формы - исходный объект для построения L-функций
• nt-24-class-field-theory — Теория классов полей объясняет структуру L-функций через группы Галуа
• nt-29 — Арифметика эллиптических кривых и полная формула BSD