Теория чисел

Дзета-функции многообразий

Гипотеза Бёрча и Суиннертон-Дайера - одна из семи задач тысячелетия с призом $1 000 000. Она связывает аналитическое свойство $L$-функции эллиптической кривой (порядок нуля в $s=1$) с алгебраическим (ранг группы рациональных точек). Дзета-функции многообразий - инструмент, без которого эта связь не формулируется.

Теорема Деллиня (медаль Филдса 1978): гипотезы Вейля о зета-функциях алгебраических многообразий над конечными полями - это аналог гипотезы Римана для геометрических объектов. Доказательство использует этальные когомологии - алгебраический аналог топологических инвариантов.
Эллиптические кривые в криптографии (ECC): их свойства над конечными полями $\mathbb{F}_p$ описываются дзета-функцией, формула Хассе $|E(\mathbb{F}_p)| = p + 1 - a_p$ с $|a_p| \leq 2\sqrt{p}$ - следствие одной из гипотез Вейля.
$L$-функции за пределами теории чисел: функции Хассе-Вейля эллиптических кривых появляются в модулярных формах через теорему Вайлса-Тейлора (Великая теорема Ферма).

Цели урока

Конструировать дзета-функцию Вейля многообразия над конечным полем и вычислять её для простых примеров
Формулировать гипотезы Вейля и объяснять их связь с топологией многообразий
Описывать $L$-функции эллиптических кривых и формулировать гипотезу BSD

Предварительные знания

Теория $L$-функций Дирихле и дзета-функция Римана
Эллиптические кривые над конечными полями
Когомологии в топологии (числа Бетти)

Дзета-функция Вейля

Для многообразия $X$ над конечным полем $\mathbb{F}_q$ дзета-функция Вейля: $Z(X, T) = \exp\left(\sum_{n=1}^\infty \frac{|X(\mathbb{F}_{q^n})|}{n} T^n\right)$. Гипотезы Вейля (1949): (1) рациональность - $Z$ - рациональная функция от $T$; (2) функциональное уравнение; (3) связь нулей с числами Бетти; (4) аналог гипотезы Римана - нули лежат на окружности $|T| = q^{-k/2}$. Деллинь доказал (4) в 1974 году.

Числа Бетти $b_i = \dim H^i(X, \mathbb{Q}_\ell)$ (этальные когомологии) определяют структуру дзета-функции: $Z(X, T) = \prod_{i=0}^{2d} P_i(T)^{(-1)^{i+1}}$, где $P_i$ имеет степень $b_i$. Для эллиптической кривой ($d=1$): $b_0=1$, $b_1=2$, $b_2=1$ - числитель имеет степень 2, знаменатель - степени 1 и 1.

Гипотеза Бёрча-Суиннертон-Дайера

$L$-функция Хассе-Вейля кривой $E$: $L(E, s) = \prod_p L_p(E, p^{-s})^{-1}$, где $L_p$ учитывает $a_p$ при хорошей редукции. Гипотеза BSD: $\mathrm{ord}_{s=1} L(E, s) = \mathrm{rank}(E(\mathbb{Q}))$. Иными словами: кривая имеет бесконечно много рациональных точек тогда и только тогда, когда $L(E,1)=0$. Частичные результаты: теорема Козеля-Вайлса-Тейлора (2001), работы Скиннера-Урбана (2014) для аналитического ранга $\leq 1$.

BSD остаётся открытой задачей. Доказано лишь: если аналитический ранг 0 (т.е. $L(E,1)\neq 0$), то алгебраический ранг тоже 0 (конечно много рациональных точек). И если аналитический ранг 1, то алгебраический ранг $\geq 1$. Полное доказательство BSD для ранга $\geq 2$ - открытая проблема.

Брайан Бёрч и Питер Суиннертон-Дайер сформулировали гипотезу в 1965 году на осно

Брайан Бёрч и Питер Суиннертон-Дайер сформулировали гипотезу в 1965 году на основе вычислений на EDSAC-2 - одном из первых компьютеров Кембриджа. Деллинь доказал гипотезы Вейля в 1974 году, получив медаль Филдса и Вольфовскую премию. Современные доказательства теоремы Вайлса о Великой теореме Ферма используют $L$-функции в ключевом месте.

Дзета-функция Вейля и гипотезы

Андре Вейль в 1948 году сформулировал 4 гипотезы о числе точек алгебраических многообразий над F_q. Пьер Делинь доказал последнюю (аналог Гипотезы Римана) в 1974 году и получил за это Медаль Филдса в 1978.

Что означает аналог гипотезы Римана Вейля (доказанный Делинем)?

L-функции и формула следа

Роберт Лэнглендс в 1967 году написал письмо Андре Вейлю с программой объединения теории представлений и теории чисел. Его L-функции охватывают ζ(s) Римана, функции Дирихле, Хассе-Вейля и функции автоморфных форм в единой конструкции.

Что утверждает гипотеза Бёрча-Суиннертон-Дайера (BSD)?

Дзета-функция эллиптической кривой

Для $E: y^2 = x^3 - x$ над $\mathbb{F}_p$: $Z(E/\mathbb{F}_p, T) = \frac{(1-\alpha T)(1-\bar\alpha T)}{(1-T)(1-pT)}$, где $\alpha\bar\alpha = p$ и $\alpha + \bar\alpha = a_p = p+1 - |E(\mathbb{F}_p)|$. По теореме Хассе $|a_p| \leq 2\sqrt{p}$. При $p=5$: $|E(\mathbb{F}_5)| = 4$, $a_5 = 5+1-4 = 2$. Числитель $(1-\alpha T)(1-\bar\alpha T) = 1 - a_p T + p T^2$ кодирует всю информацию о точках кривой.

Итоги

Дзета-функция Вейля кодирует количество точек многообразия над расширениями конечных полей.
Гипотезы Вейля (доказаны Деллинем) связывают нули дзета-функции с топологией многообразия.
BSD гипотеза соединяет аналитический ранг $L$-функции с алгебраическим рангом группы рациональных точек.

Связь с другими темами

Дзета-функция Римана (nt-10) - простейший пример $L$-функции: $\zeta(s) = \prod_p (1-p^{-s})^{-1}$ кодирует простые числа. Эллиптические кривые (nt-25, nt-29) - геометрические объекты с богатой $L$-функцией. Теорема Вайлса (Великая теорема Ферма) использует соответствие Шимуры-Таниямы, связывающее $L$-функции эллиптических кривых с $L$-функциями модулярных форм.

Nt 10 — связан
Nt 25 — связан
Nt 29 — связан

Вопросы для размышления

Формула Хассе даёт $|E(\mathbb{F}_p)| = p + 1 - a_p$ с $|a_p| \leq 2\sqrt{p}$. Это означает, что кривая над $\mathbb{F}_p$ имеет порядка $p$ точек для любого $p$. Как это свойство используется в ECC-криптографии: почему именно $\sim p$ точек делает дискретный логарифм сложным?