Мартингальный оптимальный транспорт

Цели урока

• Формализовать задачу робастного ценообразования опционов как MOT с мартингальным ограничением
• Понять strong duality: верхняя граница опциона = стоимость суперхеджирующего портфеля
• Применять энтропийный MOT для численного решения с сохранением мартингальности

Предварительные знания

• Мультимаргинальный OT и его LP-формулировка
• Базовые понятия финансовой математики: опционы, безарбитражность, нейтральная к риску мера
• Условное ожидание и мартингалы

• Мульти-маргинальный OT
• Дискретный OT

Как оценить барьерный опцион на S&P500, не зная модели цены? Bloomberg в 2016 году: ванильные опционы торгуются, подразумеваемая волатильность известна. MOT даёт верхнюю и нижнюю границы экзотического опциона, совместимые со всеми безарбитражными моделями.

• Bloomberg: MOT для model-free bounds барьерных и look-back опционов из implied volatility поверхности
• JPMorgan: проверка согласованности implied vol с условием выпуклого порядка µ ≤_cx ν
• Robustness testing: worst-case portfolio risk при неопределённости совместного распределения активов
• Regulatory capital: Basel IV требует оценки рисков без предположений о модели - MOT как инструмент

От арбитражной теории к транспорту

Связь OT и ценообразования опционов была намечена несколькими группами независимо в 2011-2013 годах. Beiglböck, Henry-Labordere и Penkner (2013) сформулировали задачу MOT для модель-свободных bounds. Touzi и соавторы дали строгие двойственные теоремы. Теорема Штрассена (1965) о выпуклом порядке оказалась ключевой леммой - связала существование мартингального плана с упорядочиванием мер. Сегодня MOT - стандартный инструмент в quantitative finance для проверки согласованности опционных рынков.

Мартингальный OT: постановка и двойственность

2017 год. Два математика - Биньоне и Тутона - показали: задача робастного ценообразования барьерного опциона по S&P500 сводится к LP с мартингальным ограничением. Транспортный план - это не просто 'сколько масс куда везти', а 'как активу ценится завтра при условии сегодняшней цены'. Безарбитражность - это и есть мартингальность.

Мартингальное ограничение E[Y|X]=X выражает необходимое условие безарбитражности. Теорема Штрассена: мартингальный план π(µ,ν) существует тогда и только тогда, когда µ ≤_cx ν (выпуклый порядок): µ имеет меньшее 'spread' чем ν.

Суперхеджирование и двойственность в MOT

Двойственная задача MOT - это не абстракция. Она говорит: минимальная стоимость суперхеджирующего портфеля равна верхней границе цены опциона. φ(x) - это позиция в ванильном опционе со страйком x. ψ(y) - позиция со страйком y. h(x) - количество форвардов. Вся теория опционных рынков в одной LP.

На практике µ и ν калибруются из рыночных цен опционов (implied calibration). Задача MOT тогда даёт model-free bounds - верхние и нижние границы цены экзотического дериватива, согласующиеся с любой безарбитражной моделью.

Численные методы для MOT

MOT на бумаге - LP с мартингальным ограничением. На практике: как его решать для реальных рынков с непрерывными распределениями? Три подхода: дискретизация (стандарт), Sinkhorn с мягким мартингальным штрафом, нейросетевые двойственные переменные. Каждый - компромисс точности и масштаба.

Дискретизация MOT на сетке требует тщательной проверки: мартингальное ограничение E[Y|X]=X должно выполняться для дискретных переходных вероятностей. Ошибка дискретизации E[Y|X=x_i] = x_i нарушается при грубой сетке.

Куда ведёт тема

Мартингальный OT - частный случай OT с ограничениями на траектории. Следующий шаг: причинный OT (ot-28), где ограничение не мартингальность, а адаптированность (использование только прошлого), и несбалансированный OT (ot-29) для сравнения мер разного размера.

• Optimal Transport — Связанная тема

Итоги

• Мартингальный план M(µ,ν): E[Y|X]=X почти наверное - математическая формализация безарбитражности
• MOT прямая = верхняя граница цены опциона; MOT двойственная = суперхеджирующий портфель
• Strong duality без зазора: цена опциона = минимальная стоимость суперхеджа
• Теорема Штрассена: мартингальный план существует ↔ µ ≤_cx ν (выпуклый порядок)

Вопросы для размышления

• Почему нарушение выпуклого порядка µ ≤_cx ν в implied volatility поверхности означает арбитражную возможность?
• Как mартингальный OT связан с задачей оптимального стохастического управления через теорему Штрассена?
• Что даёт multi-period MOT (T маргиналей) сверх bi-period (T=2) для оценки американских опционов?

Связанные уроки

• ot-26-multi-marginal — мартингальный OT - частный случай MOT с финансовыми ограничениями
• ot-28 — причинный OT обобщает мартингальный
• ot-02-kantorovich — двойственность Канторовича - основа двойственности MOT