Теория вероятностей
Броуновское движение
Формула Блэка-Шоулза, принёсшая авторам Нобелевскую премию 1997 года, выводится из одного уравнения: $dS = \mu S \, dt + \sigma S \, dW_t$, где $W_t$ - броуновское движение. Без понимания стохастического исчисления Ито это уравнение не имеет смысла - приращение $dW_t$ не является дифференциалом ни одной дифференцируемой функции.
- Физика диффузии: уравнение теплопроводности $\partial_t u = \frac{1}{2}\Delta u$ описывает распределение частиц броуновского движения. Связь между СДУ и УЧП через лемму Ито - основа метода Монте-Карло для решения уравнений в частных производных.
- Геометрическое броуновское движение (GBM) - стандартная модель цены акции в опционных моделях. Параметры $\mu$ (дрейф) и $\sigma$ (волатильность) калибруются по историческим данным; опционное ценообразование требует $\sigma$, но не $\mu$.
- Score-based диффузионные модели (DDPM, Score SDE): прямой процесс - это броуновское движение, добавляющее шум; обратный процесс - обращение СДУ через формулу Андерсона. Stable Diffusion работает именно так.
Цели урока
- Формулировать аксиомы винеровского процесса и объяснять недифференцируемость траекторий
- Применять лемму Ито для вычисления дифференциала функции от броуновского движения
- Выводить формулу Блэка-Шоулза из GBM через лемму Ито и аргумент нейтральности к риску
Предварительные знания
- Пуассоновский процесс и независимые приращения
- Интеграл Лебега и сходимость в $L^2$
- Обыкновенные дифференциальные уравнения: основные типы
Винеровский процесс: аксиомы и свойства
Стандартный винеровский процесс $W_t$ определяется: (1) $W_0 = 0$; (2) $W_t - W_s \sim \mathcal{N}(0, t-s)$ для $s < t$; (3) приращения на непересекающихся промежутках независимы; (4) траектории $t \mapsto W_t$ непрерывны почти наверное. Из этих аксиом: $\mathrm{Var}(W_t) = t$, $\mathrm{Cov}(W_s, W_t) = \min(s,t)$. Траектории нигде не дифференцируемы с вероятностью 1 - это следует из теоремы Паули-Леви и является следствием аксиомы 2.
Стохастическое дифференциальное уравнение $dX_t = b(X_t)\,dt + \sigma(X_t)\,dW_t$ при условиях Липшица на $b$ и $\sigma$ имеет единственное сильное решение. Связь с УЧП (формула Фейнмана-Каца): $u(t,x) = \mathbb{E}[g(X_T) | X_t = x]$ удовлетворяет уравнению $\partial_t u + b \partial_x u + \frac{\sigma^2}{2} \partial_{xx} u = 0$ с $u(T,x) = g(x)$. Это основа метода МК для решения задач оценки опционов.
Стохастический интеграл Ито $\int_0^t H_s \, dW_s$ определён только для адаптированных процессов $H_s$ с $\mathbb{E}[\int_0^T H_s^2 \, ds] < \infty$. Он является мартингалом. Интеграл Стратоновича $\int H_s \circ dW_s$ использует другую конвенцию и сохраняет цепное правило обычного исчисления, но не является мартингалом. Физики часто используют Стратонович, финансисты - Ито.
Кийоси Ито разработал стохастическое исчисление в 1942-1951 годах, работая в Япо
Кийоси Ито разработал стохастическое исчисление в 1942-1951 годах, работая в Японии в период изоляции. Его работа оставалась малоизвестной до 1960-х. Формула Блэка-Шоулза (1973) сделала стохастическое исчисление промышленным инструментом: к 1987 году Уолл-стрит использовал его повсеместно. Поль Самуэльсон предложил GBM как модель акций в 1965 году.
Броуновское движение: определение и аксиомы
В 1827 году Браун наблюдал в микроскоп зёрна пыльцы в воде - они двигались хаотично без видимой причины. Сегодня то же уравнение dS = μS dt + σS dW описывает цену акции Tesla с волатильностью σ ≈ 0.58. Броуновское движение W(t) - непрерывный предел случайного блуждания и фундаментальный строительный блок стохастического анализа.
Стандартное броуновское движение (процесс Винера) - случайный процесс W(t), удовлетворяющий четырём условиям: W(0) = 0 почти наверное; для любых 0 ≤ s < t приращение W(t) − W(s) имеет распределение N(0, t−s); приращения на непересекающихся интервалах независимы; траектории W(t) непрерывны почти наверное.
Броуновское движение порождает гауссовский процесс с ядром K(s,t) = min(s,t). В Gaussian Process Regression это ядро (Wiener kernel) задаёт prior над функциями с интегрирующим характером - гладкие на больших масштабах, шумные на малых.
Пусть W(t) - стандартное броуновское движение. Найдите E[W(3) · W(5)].
Ответ следует непосредственно из определения и свойств рассматриваемого математического объекта.
Свойства броуновского движения и формула Ито
Броуновское движение обладает замечательными симметриями: масштабирование (1/c)·W(c²t) снова броуновское движение; инверсия времени t·W(1/t) при t>0 - броуновское движение; отражение -W(t) - броуновское движение. Эти свойства используются для вывода распределений максимума и времён первого прохождения - ключевых величин в задачах управления и финансов.
Принцип отражения: P(max_{0≤s≤t} W(s) ≥ a) = 2·P(W(t) ≥ a) для a > 0. Это следствие симметрии броуновского движения относительно уровня a при первом прохождении. Используется в финансах для оценки вероятности выбивания барьера (barrier options).
Для стандартного броуновского движения W(t): чему равно E[W(t)⁴]? Используйте формулу для моментов N(0,t).
Ответ следует непосредственно из определения и свойств рассматриваемого математического объекта.
Геометрическое броуновское движение и модель Блэка - Шоулза
Обычное броуновское движение может уйти в отрицательную область - для цен активов это неприемлемо. Геометрическое броуновское движение (GBM) решает эту проблему: S(t) = S(0)·exp((μ − σ²/2)t + σW(t)). Блэк и Шоулз применили GBM для вывода формулы ценообразования опционов в 1973 году - работа, получившая Нобелевскую премию.
GBM применяется за пределами финансов: диффузия признаков в score-based generative models (DDPM, Score SDE) описывается уравнением dX = f(X,t)dt + g(t)dW, где forward process зашумляет данные, а reverse process (тоже стохастическое ДУ) восстанавливает их. Обучение состоит в аппроксимации score function ∇ₓ log p(X,t) нейронной сетью.
Акция стоит 100$. GBM с μ=0.2 и σ=0.4, горизонт T=2 года. Чему равно E[S(2)]?
Ответ следует непосредственно из определения и свойств рассматриваемого математического объекта.
Лемма Ито на примере $W_t^2$
Для $f(W_t) = W_t^2$ обычная цепная формула дала бы $d(W_t^2) = 2W_t \, dW_t$. Лемма Ито добавляет поправку: $d(W_t^2) = 2W_t \, dW_t + dt$. Интегрируя: $W_t^2 = 2\int_0^t W_s \, dW_s + t$. Проверка: $\mathbb{E}[W_t^2] = t$ (дисперсия), а $\mathbb{E}[\int_0^t W_s \, dW_s] = 0$ (мартингал). Поправка $dt$ - квадратическая вариация: $[W]_t = t$, символически $(dW_t)^2 = dt$.
Итоги
- Броуновское движение - непрерывный процесс с гауссовскими независимыми приращениями и нигде не дифференцируемыми траекториями.
- Лемма Ито: $df(W_t) = f'(W_t)dW_t + \frac{1}{2}f''(W_t)dt$.
- GBM $dS = \mu S dt + \sigma S dW_t$ решается через $S_t = S_0 \exp((\mu - \sigma^2/2)t + \sigma W_t)$ по лемме Ито.
Связь с другими темами
Диффузионные модели в генеративном AI (prob-28 тематика): прямой процесс добавляет шум через SDE вида $dX = -X \, dt + \sqrt{2} \, dW_t$ (OU-процесс), обратный - восстанавливает изображение. Статистическая физика (prob-28) использует те же SDE через уравнение Ланжевена.
- Prob 28 — связан
- Prob 28 — связан
Вопросы для размышления
- Формула Блэка-Шоулза требует постоянной волатильности $\sigma$, но рыночная «улыбка волатильности» показывает зависимость $\sigma$ от страйка. Как SDE с зависящей от состояния волатильностью $\sigma(S_t, t)$ (локальные волатильные модели) обобщают GBM и что нужно изменить в применении леммы Ито?