Стохастические финансы и формула Блэка-Шоулса

Цели урока

• Понять модель геометрического броуновского движения для цен активов
• Освоить теорему Гирсанова и смену меры P -> Q
• Вывести формулу Блэка-Шоулса и научиться интерпретировать греков
• Связать BS-модель с дельта-хеджированием и уравнением в частных производных

Предварительные знания

• Броуновское движение и стохастическое исчисление Ито
• Мартингалы и теорема об остановке
• Теорема Гирсанова о смене меры
• Условное математическое ожидание

• Теория больших уклонений

Fischer Black, Myron Scholes и Robert Merton решили в 1973 году задачу, над которой безуспешно работало всё финансовое сообщество: как оценить справедливую цену опциона?

• **CBOE:** ежедневный оборот опционного рынка превышает 1.2 трлн долларов - каждая сделка опирается на BS или его расширения
• **Дельта-хеджирование:** маркет-мейкеры постоянно ребалансируют портфели по дельте, создавая синтетические опционы
• **Управление рисками:** греки (дельта, гамма, вега) используются банками для агрегированного контроля рыночного риска
• **Волатильность как актив:** VIX 'индекс страха' вычисляется из рыночных цен опционов через обращение BS

Геометрическое броуновское движение и вывод BS

В 1973 году Fischer Black, Myron Scholes и Robert Merton решили задачу, над которой безуспешно работало всё финансовое сообщество: как оценить справедливую цену опциона? Через 24 года формула принесла Шоулсу и Мертону Нобелевскую премию. Ежедневный оборот CBOE по опционам превышает 1.2 трлн долларов - каждая сделка опирается на BS или его расширения.

Уравнение BS - это уравнение теплопроводности в обратном времени с финансовыми граничными условиями. Терминальное условие V(S,T) = max(S-K, 0) для колл-опциона задаёт начальные данные для теплопроводности.

Риск-нейтральная мера и теорема Гирсанова

Главный технический трюк BS - смена меры. Под объективной мерой P акция растёт со скоростью mu, под нейтральной мерой Q - со скоростью безрисковой ставки r. Теорема Гирсанова даёт явный пересчёт броуновского движения. Это позволяет цене опциона быть равной дисконтированному ожиданию выплаты под Q - и в этом ожидании дрейф mu просто исчезает.

Equivalent Martingale Measure (EMM) - центральное понятие современной mathematical finance. Теорема Харрисон-Плиска (1979) формализует: рынок свободен от арбитража тогда и только тогда, когда существует EMM.

Греки опциона и хеджирование

Греки - производные цены опциона по параметрам. Дельта Delta = partial_S C - количество акций для хеджирования; гамма - чувствительность дельты, вега - реакция на волатильность. В 1994 году Шоулс и Мертон основали хедж-фонд LTCM на этих идеях, но в 1998 году фонд потерпел крах с убытками 4.6 млрд долларов: вега и хвостовые риски проявились в рыночном стрессе, которого модель BS не предсказывала.

BS предполагает постоянную волатильность, отсутствие транзакционных издержек и непрерывную торговлю. На практике sigma стохастична (модели Heston, SABR), скачки моделируются процессами с прыжками (Merton jump-diffusion). Improbable hedge LTCM в 1998 году провалился на стресс-сценариях, не предусмотренных моделью.