Случайные процессы
Процессы Леви: прыжки реальных рынков
Gaussian diffusion предсказывает, что рыночный обвал 1987 года (DJIA -22.6% за день) случается раз в 10^148 лет. Процессы Леви с тяжёлыми хвостами объясняют такие события реалистично - именно поэтому финансовая математика после 1987 года перешла от GBM к jump-diffusion.
- Модель Мертона 1976: jump-diffusion для ценообразования опционов и smile волатильности
- CDO в 2008: Gaussian copula недооценила хвостовую зависимость Леви-процессов
- Страхование (Крамер-Лундберг): compound Poisson для совокупных выплат
- Криптовалюты: BTC/ETH returns имеют alpha-stable хвосты (alpha < 2)
- Радиофизика: Леви-полёты в аномальной диффузии в неоднородных средах
- Scipy stats: levy_stable, nig, cauchy - параметрические семейства Леви
Black-Scholes ошибается в дни краша: где прыжки?
19 октября 1987 года S&P 500 упал на 20.5% за один день. Black-Scholes с броуновским движением: вероятность такого события - меньше 10⁻⁹⁰. Но это произошло. **Леви-процессы** добавляют скачки: independent stationary increments с càdlàg путями, включающими разрывы.
Три условия процесса Леви X(t): (1) X(0) = 0 п.н.; (2) независимые приращения: X(t) - X(s) ⊥ X(s) - X(r) при r < s < t; (3) стационарные приращения: X(t+s) - X(s) ~ X(t). Траектории càdlàg (непрерывны справа, предел слева).
Броуновское движение и Пуассоновский процесс - частные случаи Леви-процессов. BM: мера Леви ν = 0, σ² > 0. Пуассон: ν = λδ₁, σ = 0. Любой Леви-процесс = BM + compound Poisson + малые скачки (теорема Леви-Ито).
Почему броуновское движение не подходит для моделирования дневных returns акций в дни финансовых кризисов?
Вероятность падения на 20% за один день по модели BM меньше 10⁻⁹⁰. Lévy-процессы решают это: их càdlàg траектории допускают разрывы (скачки), моделируя внезапные рыночные движения.
Формула Леви-Хинчина: паспорт любого Леви-процесса
Любой Леви-процесс полностью определяется **триплетом (b, σ², ν)**: drift b, дисперсия гауссовской компоненты σ², мера Леви ν (интенсивность и размер скачков). Это «паспорт» - два Леви-процесса с одинаковым триплетом имеют одинаковые распределения.
Мера Леви ν = λ·δ₁ для пуассоновского процесса: что означает δ₁?
δ₁ - мера Дирака: ν({1}) = λ, ν(A) = 0 при 1 ∉ A. Для составного Пуассона с Exp(μ)-скачками ν(dx) = λ·μ·e^{-μx} dx - абсолютно непрерывная мера на (0,∞).
Jump-diffusion Мертона: скачки в option pricing
**Составной Пуассоновский процесс**: X(t) = Σᵢ₌₁^{N(t)} Yᵢ, где N(t) ~ Poisson(λt) - число скачков, Yᵢ i.i.d. ~ F_Y - размеры скачков. Мертон (1976) добавил его к BM: dS = μS dt + σS dW + S dJ, где J - составной Пуассон. Результат: хвосты опционных цен гораздо реалистичнее.
Модель Крамера-Лундберга в страховании: R(t) = u + ct - X(t), где u - начальный резерв, c - premium rate, X(t) - составной Пуассон (страховые выплаты). Вероятность разорения ψ(u) = P(R(t) < 0) экспоненциально убывает при u → ∞.
Страховщик: λ = 10/год, E[Y] = 50 000 руб. Каково E[X(2)] (составной Пуассон за 2 года)?
По формуле E[X(t)] = t·λ·E[Y]: E[X(2)] = 2 · 10 · 50 000 = 1 000 000 руб. Var[X(t)] = t·λ·E[Y²], что отражает полный риск, включая разброс размеров претензий.
- **Option pricing (Merton)** (Jump-diffusion для equity options): Merton (1976): добавление compound Poisson к GBM. Implied volatility smile объясняется именно прыжками. Variance Gamma, NIG, CGMY - более сложные Леви-модели.
- **Credit risk (CDO)** (Дефолты как скачки): Levy copula models для корреляции дефолтов. Gaussian copula (David Li, 2000) недооценила хвостовую зависимость - одна из причин кризиса 2008.
- **Страхование** (Модель Крамера-Лундберга): Aggregate claims как compound Poisson. Вероятность разорения через Laplace transform меры Леви. Экспоненциальное убывание с ростом резерва.
- **Физика (аномальная диффузия)** (α-устойчивые процессы): Диффузия в неоднородных средах: фракционное броуновское движение, α-stable Lévy flights. Тяжёлые хвосты (α < 2) -> бесконечная дисперсия шагов.
Упражнения
- Объясните интуицию формулы Леви-Хинчина. Что означают три слагаемых в ψ(u)? — ibu - линейный дрейф; -σ²u²/2 - гауссова компонента (BM); интеграл по ν - скачковая компонента: малые скачки с компенсацией, большие без
Ключевые идеи
- Леви-процесс = independent stationary increments + càdlàg траектории
- Триплет (b, σ², ν) полностью определяет процесс через Леви-Хинчин
- E[exp(iuX(t))] = exp(t·ψ(u)) - характеристическая функция факторизуется по t
- Составной Пуассон: E[X(t)] = tλE[Y], Var[X(t)] = tλE[Y²]
- Merton jump-diffusion: GBM + compound Poisson = реалистичные хвосты returns
- BM (ν=0) и Пуассон (ν=λδ₁) - частные случаи
Связанные темы
Леви-процессы обобщают ключевые стохастические объекты.
- Пуассоновский процесс — Частный случай: ν = λδ₁, σ = 0, b = 0
- Броуновское движение — Непрерывный Леви-процесс: ν = 0, σ² > 0