Случайные процессы
Взаимодействующие частицы и поля
Как магнит намагничивается? Как COVID распространяется? Как Twitter становится единодушным? Все эти системы описываются одной математикой - взаимодействующие частицы на решётке. Фазовые переходы в них объясняют как намагниченность стали, так и «пузыри» на финансовых рынках.
- **Эпидемиология:** SIR/SIS-модели - mean-field предел контактного процесса; расчёт порогового значения R₀ для введения карантина
- **Социальные сети:** модели мнений (voter model, Deffuant model) - взаимодействующие частицы со спинами = мнениями; фазовый переход = консенсус vs поляризация
- **Нейронные сети:** модель Хопфилда - модель Изинга с синаптическими весами; паттерны памяти как состояния равновесия Гиббса
Предварительные знания
Модель Изинга
Quantum Annealer D-Wave Advantage (2023, 5 000 кубитов) симулирует Ising model для оптимизационных задач: scheduling авиалиний для Lufthansa. **Модель Изинга** - математическая модель ферромагнетизма: решётка спинов, каждый из которых принимает значения ±1 и взаимодействует с соседями. Прототип всех моделей фазовых переходов.
В 1D модель Изинга не имеет фазового перехода (Пайерлс, 1936): при любой T > 0 тепловые флуктуации разрушают порядок. В 2D Онзагер (1944) нашёл точное решение: β_c = log(1+√2)/2 ≈ 0.44. В 3D и выше - фазовый переход есть, но аналитического решения нет.
В модели Изинга при T → 0 (β → ∞) все спины выровняются. Почему?
Контактный процесс и эпидемические модели
**Контактный процесс** - модель распространения инфекции на решётке: каждый узел либо «заражён» (1), либо «здоров» (0). Динамика Маркова в непрерывном времени.
Контактный процесс при λ → ∞ связан с ориентированной перколяцией: инфекция распространяется как кластер на решётке пространство-время. Критический индекс фазового перехода совпадает с индексом directed percolation - гипотеза ДП подтверждена экспериментально в химических реакциях.
В контактном процессе при λ > λ_c начиная с одного заражённого узла инфекция:
Mean-field теория и уравнения поля
**Mean-field приближение** - каждая частица взаимодействует не с конкретными соседями, а со средним полем всех остальных. Точно при d → ∞, хорошее приближение при большом d.
Для системы N взаимодействующих частиц при N → ∞ эмпирическое распределение сходится к детерминированному решению уравнения Мак-Кина - Власова (McKean - Vlasov equation). Это строгое обоснование mean-field приближения: флуктуации порядка 1/√N.
В mean-field модели Изинга уравнение m = tanh(β·2dJ·m) при h=0 имеет непростое решение m ≠ 0 при:
Фазовые переходы и критические явления
**Фазовые переходы** - качественные изменения поведения системы при прохождении через критическую точку. Их универсальность (одинаковые критические индексы у разных моделей) - одно из глубочайших открытий XX века.
Ренормгруппа (Wilson, 1971, Нобелевская премия 1982) объясняет универсальность: вблизи критической точки система самоподобна на всех масштабах. RG-поток в пространстве параметров взаимодействия сходится к неподвижной точке, определяющей класс универсальности.
Почему критические индексы модели Изинга и модели жидкость-газ одинаковы, несмотря на разную физику?
Ключевые идеи
- **Модель Изинга** - решётка спинов, мера Гиббса π ~ e^{-βH}; фазовый переход при d ≥ 2
- **Контактный процесс** - марковская динамика заражения; λ_c - критический порог выживания
- **Mean-field** - замена взаимодействия средним полем; уравнение самосогласования m = tanh(β·2dJm)
- **Универсальность** - критические индексы зависят только от симметрии и d; объясняет совпадение индексов у разных физических систем
Связанные темы
Взаимодействующие частицы соединяют стохастику с физикой и теорией графов:
- Цепи Маркова с непрерывным временем — Контактный процесс и динамика Глаубера - непрерывно-временные марковские цепи на решётке
- Теория больших уклонений — Функция скорости LDT = свободная энергия / kT; флуктуации в модели Изинга
- MCMC и сэмплирование — Алгоритм Метрополиса–Гастингса исходно разработан для сэмплирования из меры Гиббса модели Изинга
Вопросы для размышления
- Почему одномерная модель Изинга не имеет фазового перехода при T > 0, но двумерная - имеет? Что меняется при добавлении измерения?
- Как mean-field приближение связано с предположением о независимости спинов? Когда оно точно и когда ломается?
- Опишите реальную социальную систему как взаимодействующие частицы: что такое спины, взаимодействие J и температура T?