Фундаментальная группа

Петля на сфере всегда стягивается в точку. Петля на торе - не всегда. Это различие кодируется одним числом: π₁(S²) = 0, π₁(T²) = ℤ × ℤ. Топология превращает геометрическое свойство в алгебраический объект. Тот же алгоритм, что счёт намоток петли - работает в каждой GIS-системе мира. AlphaFold2 использует гомологии - обобщение той же идеи - для анализа топологии белков.

• **Point-in-polygon (GIS, компьютерная графика)**: алгоритм winding number определяет принадлежность точки многоугольнику. Используется в PostGIS, QGIS, Google Maps, SVG renderer, видеоиграх
• **TDA (Topological Data Analysis)**: персистентные гомологии H₁ обнаруживают циклические структуры в облаках данных. AlphaFold2 анализирует топологию белков через гомологии - π₁ для непрерывных пространств форм
• **Knot invariants**: фундаментальная группа дополнения к узлу - главный инвариант теории узлов. Применения: биология ДНК, квантовые вычисления (anyons), материаловедение

Предварительные знания

• Метрические пространства

Гомотопия путей

**Загадка.** Как отличить кофейную кружку от бублика? Топологически - никак: у обоих одна дыра. Как отличить плоскость от тора? Фундаментальная группа: у плоскости π₁ = {e}, у тора π₁ = ℤ × ℤ. Алгебра считает дыры - причём так точно, что алгоритм point-in-polygon в любой GIS-системе вычисляет ровно это число.

**Путь** в топологическом пространстве X - непрерывная функция γ: [0,1] -> X. Два пути γ₀ и γ₁ с одинаковыми концами **гомотопны** (γ₀ ≃ γ₁), если существует непрерывная деформация H: [0,1] × [0,1] -> X с H(s,0) = γ₀(s), H(s,1) = γ₁(s), и фиксированными концами H(0,t) = x, H(1,t) = y.

**Петля** - путь γ: [0,1] -> X с γ(0) = γ(1) = x₀ (базовая точка). Гомотопия петель: H(0,t) = H(1,t) = x₀ для всех t. Петли с базовой точкой x₀ и гомотопия петель - ключевые объекты фундаментальной группы.

Гомотопия путей - отношение эквивалентности: рефлексивное (константная деформация), симметричное и транзитивное. Класс эквивалентности пути γ обозначается [γ]. На классах эквивалентности петель конкатенация определяет операцию группы.

Определение фундаментальной группы

**Фундаментальная группа** π₁(X, x₀) - это множество классов гомотопии петель в X с базовой точкой x₀, снабжённое операцией конкатенации: [γ]·[δ] = [γ * δ], где (γ * δ)(t) = γ(2t) при t ≤ 1/2 и δ(2t-1) при t > 1/2.

**Проверка групповых аксиом:** Единица - класс константной петли [c_x₀]. Обратный к [γ] - класс обратной петли, где γ̄(t) = γ(1-t). Ассоциативность - конкатенация ассоциативна с точностью до гомотопии. Все аксиомы выполнены.

Фундаментальная группа - **топологический инвариант**: гомеоморфные пространства имеют изоморфные фундаментальные группы. R² и R²\{0} локально неотличимы, но π₁({e}) не изоморфна π₁(ℤ) - немедленное доказательство негомеоморфности.

Теорема Зейферта-ван Кампена

**Теорема Зейферта-ван Кампена** - главный вычислительный инструмент для π₁. Если X = U ∪ V, где U, V - открытые и путесвязные, а U ∩ V тоже путесвязна, то π₁(X) - **амальгамированное произведение** π₁(U) и π₁(V) по π₁(U ∩ V).

**Применение к сетям**: связный граф G с остовным деревом T имеет π₁(G, x₀) = свободная группа ранга β₁ = |E| - |V| + 1. Это число независимых циклов - первое число Бетти. В сетях это размерность пространства циклов - ключевая характеристика отказоустойчивости.

π₁(S¹) = ℤ и число намоток

**Теорема: π₁(S¹, 1) = ℤ.** Изоморфизм задаётся числом намоток (winding number): каждой петле γ сопоставляется целое число - сколько раз она обходит окружность (положительно - против часовой, отрицательно - по часовой). Конкатенация петель соответствует сложению намоток.

Число намоток - не абстракция. **Point-in-polygon**: алгоритм winding number используется в каждой GIS-системе (QGIS, PostGIS, Google Maps) для определения, находится ли точка внутри многоугольника. **AlphaFold2**: анализ топологии белков через гомологии H₁ - обобщение числа намоток на облака точек. **Теорема Коши**: интеграл от 1/z по петле = 2πi × winding number.

**TDA (топологический анализ данных)**: π₁ отвечает за «1D дыры» в данных. Персистентные гомологии H₁ вычисляют аналог числа намоток для облаков точек - основа обнаружения циклических структур в биологических сетях, молекулах (AlphaFold2 protein topology), траекториях роботов.

Ключевые идеи

• **Гомотопия**: непрерывная деформация пути; петли с одним числом намоток гомотопны в R²\{0}
• **π₁(X, x₀)**: группа классов гомотопии петель; операция - конкатенация; топологический инвариант
• **Теорема ван Кампена**: π₁(X) вычисляется из π₁(U), π₁(V), π₁(U∩V) через амальгаму; β₁ графа = ранг π₁
• **π₁(S¹) = ℤ**: изоморфизм - число намоток; конкатенация петель = сложение в ℤ; в коде - winding number

Связанные темы

Фундаментальная группа - первый шаг алгебраической топологии:

• Накрывающие пространства — Накрывающие пространства классифицируются подгруппами π₁(X); универсальное накрытие соответствует {e}
• Гомологии — H₁(X) = абелианизация π₁(X); гомологии - «коммутативная» версия фундаментальной группы

Вопросы для размышления

• Докажите, что π₁(X × Y) = π₁(X) × π₁(Y) для путесвязных пространств. Вычислите π₁(T²) = π₁(S¹ × S¹).
• Почему на S² любая петля стягиваема? Нарисуйте геометрическую интуицию и укажите, где аргумент не работает для RP² (проективной плоскости).
• Реализуйте алгоритм point-in-polygon через winding number и объясните связь с π₁(S¹) = ℤ.

Связанные уроки

• top-04 — Метрические пространства и непрерывность нужны для определения гомотопии
• top-06 — Накрывающие пространства классифицируются подгруппами π₁
• top-07 — H₁ - абелианизация π₁, гомологии строятся поверх
• fa-01 — Функциональный анализ использует топологию пространств операторов
• top-03 — Связность и компактность - базовые свойства перед алгебраической топологией
• aa-03-homomorphisms