Геодезические

GPS-спутники вычисляют траектории как геодезические в метрике Шварцшильда: поправка ОТО +45 мкс/день. Без неё погрешность GPS -- 11 км/день.

• **ОТО:** траектории планет и фотонов -- геодезические в метрике Шварцшильда. Отклонение света у Солнца предсказано именно так.
• **Riemannian ML:** градиентный спуск на гиперболическом пространстве через exp_p и log_p -- основа Poincare embeddings.
• **Робототехника:** оптимальные траектории манипуляторов -- геодезические в пространстве конфигураций с метрикой инерции.
• **Компьютерное зрение:** сравнение форм через geodesic distance на форм-пространствах (shape spaces) - основа медицинской сегментации и motion capture.

Предварительные знания

• Риманов метрический тензор g_{ij} и ковариантная производная
• Символы Кристоффеля и связность Леви-Чивита
• Теорема существования и единственности для ОДУ

• Кривизна Римана
• Связность и параллельный перенос

Уравнение геодезической

GPS-спутники вычисляют баллистические траектории как геодезические в метрике Шварцшильда: поправка ОТО составляет 45 мкс/сутки. Без этой поправки GPS-погрешность накапливалась бы со скоростью 11 км/сутки.

Экспоненциальное отображение

В Riemannian geometry-based deep learning (Poincaré embeddings, Facebook AI 2017) операция градиентного спуска реализуется через экспоненциальное отображение на гиперболическом пространстве. Это улучшает представление иерархических данных в 10 раз по сравнению с евклидовым случаем.

Теорема Хопфа-Ринова и срез геодезических

Теорема Хопфа-Ринова: риманово многообразие геодезически полно тогда и только тогда, когда оно полно как метрическое пространство (теорема Хопфа-Ринова, 1931). Срез геодезической (cut locus) - это множество точек, до которых геодезическая остаётся кратчайшей, но за которыми перестаёт быть таковой.

Ключевые идеи

• **Уравнение геодезической:** gamma''_k+Gamma^k_{ij}*gamma'_i*gamma'_j=0. Символы Кристоффеля через первые производные метрики.
• **Вариационная формулировка:** геодезические -- критические кривые L[gamma]=integral sqrt(g_{ij}*gamma'_i*gamma'_j)dt.
• **Экспоненциальное отображение:** exp_p(v)=gamma_v(1). Нормальные координаты: g_{ij}(p)=delta_{ij}, Gamma^k_{ij}(p)=0.