Когомологии групп

Гильберт в своей «Теории чисел» 1897 года записал теорему 90 как элементарный факт о нормах. Сто лет спустя она стала H¹(Gal, L*) = 0 - центральным утверждением теории Галуа-когомологий. Когомологии групп - это мост между алгеброй групп и арифметикой полей.

• Теория классов полей: H¹ и H² групп Галуа классифицируют алгебраические расширения через теорему взаимности
• Диофантовы уравнения: препятствие Брауэра-Манина для рациональных точек - элемент группы Брауэра = H²(Gal, k̄*)
• Криптография: задача дискретного логарифма в полях - вычислительный аспект H¹ для конечных полей

Предварительные знания

• Derived Categories

H^n(G, M): определение и вычисление

Когомологии групп были определены Хохшильдом в 1945 году и уточнены Эйленбергом-Маклейном в 1947 году для описания препятствий в расширениях, деформациях и теории полей классов. К 1958 году Тейт переформулировал закон взаимности Артина через H^2, а сегодня H^2(G_K, μ_n) лежит в основе вычислений группы Брауэра, на которых строится криптография эллиптических кривых (ECDSA в TLS 1.3 работает на более чем 4 миллиардах устройств).

**G-модуль M** - абелева группа M с действием группы G: G × M → M, (g, m) ↦ g·m, удовлетворяющим g·(m+n) = g·m + g·n и (gh)·m = g·(h·m). **Когомологии H^n(G, M)** определяются через стандартный комплекс: C^n(G, M) = {f: G^n → M} (функции из G^n в M) Дифференциал: (df)(g₁,...,gₙ₊₁) = g₁·f(g₂,...,gₙ₊₁) + ∑ (-1)^i f(...,gᵢgᵢ₊₁,...) + (-1)^{n+1} f(g₁,...,gₙ) **H^0(G, M) = M^G = {m ∈ M : g·m = m ∀g ∈ G}** - инварианты G в M. **H^1(G, M):** 1-коцикл: f: G → M, f(gh) = f(g) + g·f(h). Кобаундари: f(g) = g·m - m для некоторого m. H¹(G, M) = {1-коциклы}/{кобаундари} = {скрещенные гомоморфизмы}/{главные}. **Когомологии через производные функторы:** H^n(G, M) = R^n Γ(G, M), где Γ(G, M) = M^G - функтор G-инвариантов.

**Происхождение когомологий:** Группы когомологий H^n(G, M) впервые появились у Хохшильда (1945) и Эйленберга-Маклейна (1947). Они обобщают классические понятия: H¹ = скрещенные гомоморфизмы (теорема Нётер о нормальных базисах), H² = расширения (теорема Шур-Цасснгауза), H³ = обструкции ассоциативности. В теории чисел они связаны с теорией классов полей и взаимностью Артина.

H²(G, A) и расширения групп

**Расширение группы:** 0 → A →^ι E →^π G → 1 - точная последовательность, где A абелева. E - «расширение G при помощи A». **H²(G, A)** классифицирует расширения (с данным действием G на A) с точностью до изоморфизма. **2-Коцикл (фактор-система):** c: G×G → A, удовлетворяющая условию коцикла: g·c(h,k) - c(gh,k) + c(g,hk) - c(g,h) = 0 **Расщепляющиеся расширения:** Расширение расщепляется (E ≅ A⋊G) ⟺ c - кобаундар. H²(G,A) = 0 означает все расширения расщепляются. **Формула:** Если c: G×G → A - коцикл, то E_c = A × G с умножением: (a, g) · (b, h) = (a + g·b + c(g,h), gh) **Примеры:** - H²(Z/2Z, Z/2Z) = Z/2Z: два расширения - Z/4Z (непростое) и Z/2Z×Z/2Z (простое). - H²(Z/nZ, A) вычисляется через норму: N = 1 + g + g² + ... + g^{n-1}.

**Теорема Шур:** Мультипликатор Шура M(G) = H²(G, ℂ*) (когомологии с тривиальным G-действием) классифицирует проективные представления G. Для симметрической группы Sₙ: M(Sₙ) = Z/2Z при n ≥ 4 - это означает существование «двойного покрытия» Sₙ (спинорные представления)!

Теорема Гильберта 90 и H¹(G, k*)

**Теорема Гильберта 90 (классическая):** Если L/k - конечное расширение Галуа с группой G = Gal(L/k), то H¹(G, L*) = 0. **Следствие (теорема Гильберта 90):** Если σ - образующая G = Z/nZ и N(a) = a·σ(a)·σ²(a)·...·σ^{n-1}(a) = 1, то a = b/σ(b) для некоторого b ∈ L*. **Интерпретация:** 1-коцикл f: G → L* при мультипликативной записи: f(σ^i) = a_i, условие: a_{i+j} = a_i · σ^i(a_j). H¹ = 0 означает: если такое семейство существует, то a_i = b/σ^i(b) для некоторого b. **Обобщение (Хилберт-90 в форме Зильбермана):** Для любого расширения Галуа L/k: H¹(Gal(L/k), GL_n(L)) = 0. Это классифицирует векторные расслоения над k: все они тривиальны над L. **Применение в теории чисел:** H¹(Gal(Q̄/Q), μₙ) = k*/(k*)^n - через длинную точную последовательность из 1 → μₙ → k* →^n k* → 1.

**Связь с пифагоровыми тройками:** Рациональные точки на окружности x²+y²=1 - это (a²-b²)/(a²+b²), 2ab/(a²+b²) для a,b ∈ Q. Это ровно Гильберт 90: N(a+bi/(a-bi)) = 1 для рациональных a,b. Так когомологии групп Галуа кодируют рациональные точки на многообразиях - это начало теории Галуа-когомологий и программы Ленглендса.

Ключевые идеи

• H^n(G, M) = R^n(M^G) - правый производный функтор взятия инвариантов
• H¹(G, M) = {скрещенные гомоморфизмы}/{главные} - классифицирует G-расслоения
• H²(G, A) классифицирует расширения 0→A→E→G→1; H²=0 ⟺ все расщепляются
• Теорема Гильберта 90: H¹(Gal(L/k), L*) = 0 - ключевой результат теории Галуа

Дальнейшие пути

Когомологии групп Галуа - основа теории классов полей и программы Ленглендса. Через тензорные разложения и спинорные группы они связаны с теорией представлений. Производные категории дают единый язык для всех когомологических теорий.

• Тензорные разложения в алгебре — Внешняя алгебра Λ(V) и когомологии: H^n(G, Λ(M)) связаны с когомологиями де Рама для пространств с G-действием
• Производные категории — H^n(G,M) = R^nΓ(G,M) - производный функтор; длинная точная последовательность - выделенный треугольник в D(G-Mod)

Вопросы для размышления

• Докажите теорему Гильберта 90 для циклического расширения L/k степени n: если N(a) = 1, то a = b/σ(b). Используйте теорему о нормальном базисе (все Gal(L/k)-орбиты неприводимы).
• Вычислите H²(Z/2Z, Z) с тривиальным действием. Каким расширениям это соответствует?
• Докажите, что H^n(G, M) = 0 для всех n ≥ 1, если |G| обратим в M (теорема о делении). Используйте оператор нормы N = ∑_{g∈G} g.

Связанные уроки

• top-01