Производные категории

Когда Гротендик строил основы современной алгебраической геометрии, ему нужен был язык для работы с «всеми Ext одновременно». Производные категории Вердье (1963) дали этот язык. Сегодня D^b(Coh(X)) - основной инвариант алгебраического многообразия, а т-структуры и перверсные пучки - инструменты программы Ленглендса.

• Программа Ленглендса: автоморфные формы ↔ представления Галуа через производные категории перверсных пучков
• Зеркальная симметрия: D^b(Coh(X)) ≅ D^b(Fuk(Y)) - Хомологическая зеркальная симметрия Конзевича
• Физика конденсированных состояний: топологические фазы описываются производными категориями

Предварительные знания

• Morita Theory

Гомотопическая категория комплексов K(A)

Диссертация Вердье 1963 года устранила дефект гомологической алгебры: производный функтор был определён лишь с точностью до цепной гомотопии, и 2 квазиизоморфных комплекса оставались формально различными. Производная категория D(A) обращает каждый квазиизоморфизм, так что RHom и ⊗^L становятся настоящими функторами. **Категория комплексов C(A):** объекты - цепные комплексы (C•, d), морфизмы - морфизмы комплексов (цепные отображения). **Гомотопия:** Два морфизма f, g: C• → D• **гомотопны** (f ~ g), если существует система гомотопий hₙ: Cₙ → Dₙ₋₁ такая, что fₙ - gₙ = dₙ∘hₙ + hₙ₋₁∘dₙ. **Гомотопическая категория K(A):** те же объекты, что C(A), но морфизмы - классы гомотопии. Это аддитивная категория, но не абелева! **Ключевое свойство:** Гомотопно эквивалентные комплексы имеют одинаковые гомологии. Обратное неверно: квазиизоморфизм (qis) не то же самое, что гомотопическая эквивалентность. **Квазиизоморфизм:** f: C• → D• - qis, если H_n(f): H_n(C•) → H_n(D•) - изоморфизм для всех n.

**Зачем нужна локализация?** Гомотопическая категория K(A) не учитывает квазиизоморфизмы - это «слишком грубо». Производная категория D(A) получается локализацией K(A) по квазиизоморфизмам: мы формально инвертируем все qis. После этого квазиизоморфные комплексы становятся изоморфными объектами D(A).

Производная категория D(A): локализация по qis

**Производная категория D(A)** - локализация K(A) по квазиизоморфизмам: D(A) = K(A)[W⁻¹], где W = {квазиизоморфизмы}. **Объекты D(A):** те же, что K(A) - цепные комплексы. **Морфизмы D(A):** «зигзаги» C• ← E• → D•, где левая стрелка - квазиизоморфизм. Это делает qis настоящими изоморфизмами. **Ограниченные версии:** - D⁺(A) = комплексы с ограниченной снизу когомологией - D⁻(A) = ограниченные сверху - D^b(A) = ограниченные с обеих сторон **Вложение A ↪ D(A):** Объект M ∈ A ↦ комплекс M[0] (M в степени 0, остальное нуль). Это полностью верное вложение: Hom_A(M,N) = Hom_{D(A)}(M[0], N[0]). **Сдвиг [1]:** (C•[1])_n = C_{n+1}, d_{C[1],n} = -d_{C,n+1}. Треугольники различения - аналог точных последовательностей в D(A).

**Производные категории в геометрии:** D^b(Coh(X)) - ограниченная производная категория когерентных пучков на многообразии X - главный инвариант алгебраической геометрии. Теорема Бонала-Орлова: D^b(Coh(X)) ≅ D^b(Coh(Y)) для канонически поляризованных многообразий ⟹ X ≅ Y. «Производная категория помнит многообразие»!

Производные функторы: RΓ, Rf_*, RHom

В производной категории функторы естественно «производятся». **Правый производный функтор RF:** Если F: A → B правоточен, то RF: D⁺(A) → D⁺(B), RF(M) = F(I•), где M → I• - инъективная резольвента. **Левый производный функтор LF:** Если F левоточен, то LF(M) = F(P•), где P• → M - проективная резольвента. **Ключевые примеры:** - **RΓ(X, F):** правый производный функтор глобальных сечений. H^n(X, F) = H^n(RΓ(X,F)) - когомологии пучка. - **Rf_*:** правый производный функтор прямого образа. R^nf_*(F) = пучки высших прямых образов. - **RHom(M, ·):** правый производный функтор Hom. H^n(RHom(M,N)) = Ext^n(M,N). - **L⊗ (= Tor):** левый производный функтор ⊗. H_n(M ⊗^L N) = Tor_n(M,N). **t-Структуры (ВВД):** Разбиение D(A) на подкатегории D^{≤0} и D^{≥0}. Сердце t-структуры - абелева категория «внутри» D(A). Классическая t-структура даёт обратно A ↪ D(A).

**Перверсные пучки и теорема разложения:** Теорема разложения (Beilinson-Bernstein-Deligne, 1982) - краеугольный камень современной теории представлений. Она доказывает полную редуцируемость многих представлений и является ключевым инструментом в программе Ленглендса. «Перверсные» (perverse) пучки - не «странные», а «пронизывающие» (от франц. pervers = «поперечный»).

Ключевые идеи

• K(A) - гомотопическая категория; D(A) = K(A)[W⁻¹] - локализация по квазиизоморфизмам
• В D(A): Hom(M, N[n]) = Ext^n(M,N) - Ext - это Hom со сдвигом
• RF - правый производный функтор: RF(M) = F(I•); H^n(RF(M)) = R^nF(M)
• t-Структуры разбивают D(A) на «временны́е половины»; сердце t-структуры = абелева категория

Дальнейшие пути

Производные категории - точка схождения гомологической алгебры, алгебраической геометрии и физики. Следующий шаг: когомологии групп как производные функторы, тензорные разложения в производных категориях.

• Когомологии групп — H^n(G, M) = R^nΓ(G, M) - производный функтор взятия G-инвариантов; длинная точная последовательность - из производной категории
• Теория Морита — Производная Морита-эквивалентность (Рику): D^b(R-Mod) ≅ D^b(S-Mod) - строже, чем классическая Морита-эквивалентность

Вопросы для размышления

• Докажите, что если F - точный функтор (и лево- и правоточен), то RF = F - производный функтор совпадает с исходным.
• Постройте явно RΓ(P¹, O(n)) - производный образ глобальных сечений пучка O(n) на проективной прямой. Используйте покрытие Чеха двумя аффинными картами.
• Объясните, почему Ext^n(M,N) = Hom_{D(A)}(M,N[n]) - как из этой формулы следует, что Ext² классифицирует расширения длины 2?

Связанные уроки

• top-01