Теория Морита

Почему кольцо 2×2 матриц и само кольцо имеют «одинаковую алгебру»? Теория Морита отвечает: они эквивалентны - их категории модулей неразличимы. Это базовое понятие в нонкоммутативной геометрии: «точка» - не просто кольцо, а класс Морита-эквивалентных колец.

• Квантовая механика: нонкоммутативные C*-алгебры операторов; эквивалентность Морита - физическая дуальность теорий
• Теория струн: D-браны описываются модулями над алгебрами; Морита-эквивалентность = T-дуальность
• Нонкоммутативная геометрия Конна: «пространство» = класс Морита C*-алгебры

Предварительные знания

• Algebraic Geometry: An Introduction

Категория модулей R-Mod

Статья Морита 1958 года ввела эквивалентность, которая игнорирует само кольцо R, но сохраняет всю информацию о модулях: любые 2 кольца R, S с R-Mod ≃ S-Mod имеют одинаковую K-теорию, когомологии Хохшильда и класс Брауэра. **R-Mod** - категория левых R-модулей: объекты - левые R-модули, морфизмы - R-гомоморфизмы. Категория R-Mod обладает богатой структурой: - **Аддитивная категория:** Hom(M, N) - абелева группа, бирасширение по сложению. - **Абелева категория:** существуют ядра, коядра, образы; точные последовательности. - **Функторы:** ⊗_R - правоточный, Hom_R(P, ·) - левоточный (P - проективный). **Проективные модули:** P - проективный ⟺ Hom_R(P, ·) точен ⟺ P - прямое слагаемое свободного модуля R^n ⟺ существует Q такой, что P⊕Q ≅ R^n. **Инъективные модули:** I - инъективный ⟺ Hom_R(·, I) точен ⟺ (критерий Беэра) для любого идеала J⊆R и любого f: J→I существует продолжение R→I. **Плоские модули:** M - плоский ⟺ M⊗_R· точен. Проективные ⟹ плоские; обратное неверно.

**Теорема о глобальной размерности:** gl.dim(R) = sup{pd(M) : M ∈ R-Mod}, где pd(M) - проективная размерность (длина проективной резольвенты). Поле: gl.dim = 0. Полукольцо: gl.dim = 1 (= наследственное). k[x]: gl.dim = 1 (теорема Серра-Гильберта). k[x₁,...,xₙ]: gl.dim = n - это теорема Гильберта о синтиах!

Эквивалентность Морита

Два кольца R и S **эквивалентны по Морита** (R ~_M S), если категории R-Mod и S-Mod эквивалентны как аддитивные категории. **Теорема Морита:** R ~_M S ⟺ существует конечно-порождённый проективный генератор P ∈ R-Mod с S ≅ End_R(P)^{op}. **Генератор:** P - генератор R-Mod, если любой R-модуль - фактормодуль P^{(I)} (произведения копий P). **Главный пример:** R ~_M Mₙ(R) для любого n ≥ 1. Functor: M ↦ R^n ⊗_R M = Mⁿ (отправляет R-Mod в Mₙ(R)-Mod) Фактически: Mₙ(R)-модули «те же», что R-модули, но «в пакетах по n». **Инварианты Морита:** Свойства, сохраняемые при эквивалентности: - Центр Z(R) ≅ Z(S) - Идеалы R ↔ идеалы S - Простота (симплициальность) R ↔ S - Глобальная размерность gl.dim(R) = gl.dim(S) **НЕ инварианты Морита:** R коммутативно ≠ S коммутативно (R ~_M Mₙ(R) некоммутативно).

**Теорема Арвесона-Морита для C*-алгебр:** Эквивалентность Морита обобщается на C*-алгебры (алгебры операторов в гильбертовом пространстве): A ~_M B ⟺ существует A-B-бимодуль Хилберта. Это центральная концепция нонкоммутативной геометрии Конна: «точка» нонкоммутативного пространства - класс Морита C*-алгебры.

Алгебры Азумая и центр

**Центральная простая алгебра (ЦПА)** над полем k - конечномерная k-алгебра A такая, что: - Z(A) = k (центр - только скаляры) - A простая (нет собственных двусторонних идеалов) Примеры: Mₙ(k), кватернионы ℍ над ℝ, алгебра Гамильтона. **Теорема Веддернберна:** Любая простая артинова k-алгебра ≅ Mₙ(D), где D - алгебра с делением над k. **Алгебра Азумая** над коммутативным кольцом R - обобщение ЦПА: R-алгебра A такая, что A ⊗_R A^{op} ≅ End_R(A) через a⊗b ↦ (x ↦ axb). **Группа Брауэра** Br(k): классы Морита-эквивалентных ЦПА над k. Группа! Умножение: [A]·[B] = [A⊗B]. Обратный: [A^{op}]. Тождественный: [k]. Br(ℝ) = Z/2Z: элементы [ℝ] и [ℍ]. Br(конечного поля) = 0 (теорема Чевалле-Варнинга). Br(ℚ) - сложная группа, связанная с теорией чисел.

**Теорема Веддернберна - Артина:** Любая конечномерная полупростая алгебра над полем изоморфна прямому произведению матричных алгебр: A ≅ Mₙ₁(D₁) × ... × Mₙₖ(Dₖ), где Dᵢ - алгебры с делением. Это абсолютный аналог теоремы о спектральном разложении симметричных матриц - для абстрактных алгебр.

Ключевые идеи

• R-Mod - абелева категория с проективными, инъективными и плоскими объектами
• R ~_M S ⟺ R-Mod ≅ S-Mod ⟺ существует конечно-порождённый проективный генератор P, End(P) ≅ S
• R ~_M Mₙ(R) - главный пример эквивалентности Морита
• Инварианты: центр, идеалы, простота, gl.dim; НЕ инвариант: коммутативность

Дальнейшие пути

Теория Морита - переход к нонкоммутативной геометрии. Производные категории обобщают Морита-эквивалентность до «производной Морита-эквивалентности» (Рику). Когомологии групп и алгебр Азумая связаны через группу Брауэра.

• Производные категории — D^b(R-Mod) обобщает Морита-эквивалентность: производная эквивалентность Рику D^b(R) ≅ D^b(S) - строже, чем Морита
• Когомологии групп — H²(G, k*) = Br(k^G/k) - группа Брауэра и когомологии Галуа связаны через теорему о скрещенных произведениях

Вопросы для размышления

• Докажите, что R ~_M Mₙ(R) для любого n, построив явно функторы F: R-Mod → Mₙ(R)-Mod и G обратный, и проверив, что F∘G ≅ Id и G∘F ≅ Id.
• Почему ℤ ~_M ℤ[1/2]? Верно ли это? Если нет - в чём препятствие? Исследуйте, сохраняет ли Морита-эквивалентность модули кручения.
• Вычислите Br(ℝ): докажите, что ℍ ⊗_ℝ ℍ ≅ M₄(ℝ), то есть [ℍ]² = [ℝ] в Br(ℝ).

Связанные уроки

• la-01-vectors-intro