Арифметика
Степени с натуральным показателем
Легенда гласит: изобретатель шахмат попросил у царя награду - зёрна на доске, удваивая на каждой клетке. Царь согласился, не поняв, что на 64 клетках будет больше зерна, чем существует на Земле. Экспоненциальный рост обманчив - и управляет многим в нашем мире.
- **Финансы:** сложные проценты и инвестиции
- **Биология:** рост популяций
- **Технологии:** закон Мура, компьютерная память
Что такое степень
Алгоритм SHA-256 (Bitcoin, 2009) выполняет 64 раунда возведения в степень по модулю - за каждый блок 2³² хешей в секунду на ASIC. Вместо 2 × 2 × 2 × 2 × 2 пишут 2⁵ и читают «два в пятой степени». **Степень** - краткая запись многократного умножения числа на себя.
**aⁿ = a × a × a × ... × a** (n раз) a - основание n - показатель степени 2³ = 2 × 2 × 2 = 8 5² = 5 × 5 = 25
Названия «квадрат» и «куб» пришли из геометрии: площадь квадрата со стороной a равна a², объём куба - a³.
Чему равно 3⁴?
Умножение степеней
Что будет, если умножить 2³ на 2⁴? Степени с одинаковым основанием умножаются просто - показатели складываются.
**Запомните:** • Умножение → показатели складываются • Степень степени → показатели умножаются Не путайте! aᵐ × aⁿ ≠ aᵐˣⁿ
Важно: эти правила работают только при одинаковом основании. 2³ × 3⁴ нельзя упростить через сложение показателей!
Чему равно 5² × 5³?
Деление степеней
Если при умножении показатели складываются, то при делении - вычитаются. Это логично: деление - обратная операция к умножению.
**Типичные ошибки:** • (a + b)² ≠ a² + b² (это (a+b)² = a² + 2ab + b²) • aᵐ + aⁿ ≠ aᵐ⁺ⁿ (складывать нельзя!) • aᵐ × bᵐ ≠ (ab)²ᵐ (только (ab)ᵐ)
Пока мы рассматриваем только случай m > n при делении. Что происходит при m = n или m < n - узнаем в следующем уроке про целые степени.
Упростите: 10⁸ ÷ 10⁵
Экспоненциальный рост
Степени растут невероятно быстро. Это называется **экспоненциальный рост** - и он повсюду: от размножения бактерий до сложных процентов.
**Где встречается экспоненциальный рост:** • Сложные проценты (деньги) • Размножение бактерий • Распространение вирусов • Ядерная цепная реакция • Закон Мура (транзисторы в чипах)
Экспоненциальный рост интуитивно трудно представить. Но понимание степеней помогает: если что-то удваивается каждый год, через 10 лет будет в 1024 раза больше!
2³ × 2⁴ = 2¹²
2³ × 2⁴ = 2⁷
При умножении степеней с одинаковым основанием показатели СКЛАДЫВАЮТСЯ, а не умножаются. 2³ × 2⁴ = 2³⁺⁴ = 2⁷. Умножение показателей происходит при возведении степени в степень: (2³)⁴ = 2¹².
Бактерия делится каждые 20 минут. Сколько бактерий будет через 2 часа из одной?
Ключевые идеи
- aⁿ - это a, умноженное на себя n раз
- aᵐ × aⁿ = aᵐ⁺ⁿ (умножение → сложение показателей)
- aᵐ ÷ aⁿ = aᵐ⁻ⁿ (деление → вычитание показателей)
- (aᵐ)ⁿ = aᵐˣⁿ (степень степени → умножение показателей)
Связанные темы
Степени - основа для многих разделов:
- Целые степени — Нулевая и отрицательные степени
- Корни — Обратная операция к степени
- Научная нотация — Запись больших чисел
Вопросы для размышления
- Почему при умножении степеней показатели складываются?
- Какие процессы в жизни растут экспоненциально?
- Почему (a+b)² ≠ a² + b²?