Трансцендентные числа

Шарль Эрмит в 1873 году доказал трансцендентность e, Линдеманн в 1882 году - π, закрыв задачу квадратуры круга. Алан Бейкер в 1966 году получил эффективные оценки, за что получил медаль Филдса.

• Криптография: цифры π и e используются в генераторах псевдослучайных чисел
• Диофантовы уравнения: теорема Бейкера находит все целые решения эффективно
• Алгебраическая геометрия: периоды многообразий - предположительно трансцендентны

Предварительные знания

• Предыдущий урок

Числа Лиувилля и трансцендентность e

Шарль Эрмит в 1873 году доказал трансцендентность числа e, Фердинанд Линдеманн в 1882 году - π. Это немедленно закрыло задачу квадратуры круга, над которой бились 2500 лет. Жозеф Лиувилль в 1844 году построил первое явное трансцендентное число: L = ∑_{k≥1} 10^{-k!} = 0.11000100...

Теорема Гельфонда-Шнайдера

Давид Гильберт в 1900 году поставил 7-ю проблему: трансцендентно ли 2^√2? В 1934 году Александр Гельфонд и Теодор Шнайдер независимо доказали: если α алгебраическое ≠ 0,1, а β алгебраическое иррациональное, то α^β трансцендентно. Алан Бейкер получил премию Филдса 1970 года за нижние оценки линейных форм от логарифмов.

Ключевые идеи

• Алгебраическое: корень полинома над Q; трансцендентное: нет
• Теорема Лиувилля: слишком хорошие рациональные приближения → трансцендентность
• Эрмит 1873: e трансцендентно; Линдеманн 1882: π трансцендентно
• Гельфонд-Шнайдер 1934: α^β трансцендентно для алг. α≠0,1 и иррац. β

Дальнейшие пути

Изученные концепции открывают следующие разделы.

• arith-28-p-adic — extends

Вопросы для размышления

• Приведите пример.
• Как концепция связана с другими разделами?