Арифметика

p-адические числа

Хензель в 1897 году создал p-адические числа по аналогии с рядами Лорана. Теорема Островского 1916 года: все нормы на Q - |·|_∞ и |·|_p. Число 6 одновременно мало 2-адически (1/2) и велико обычно (6).

  • Теория чисел: Q_p - инструмент локально-глобального принципа Хассе-Минковского
  • Теория представлений: GL(n,Q_p) - локальные компоненты автоморфных форм
  • Физика: p-адические суперструны

Предварительные знания

  • Предыдущий урок

p-адическая норма и ультраметрика

Курт Хензель в 1897 году ввёл p-адические числа по аналогии с рядами Лорана. Теорема Островского 1916 года: все нетривиальные нормы на Q - это |·|_∞ и |·|_p. Формула произведения: |r|_∞·∏_p|r|_p = 1 для любого r∈Q^×. Число 6 «маленькое» 2-адически: ||6||_2 = 1/2.

||6||_2 = ? (6 = 2·3)

Лемма Гензеля и теорема Островского

Теорема Островского 1916 года: все нормы на Q исчерпываются |·|_∞ и |·|_p. Формула произведения: |r|_∞·∏_p|r|_p = 1 для r∈Q^×. Лемма Гензеля: простой корень многочлена mod p поднимается до единственного корня в Z_p - p-адический аналог теоремы о неявной функции.

x²=-1 имеет решение в Z_p при каком p?

Ключевые идеи

  • v_p(n): показатель вхождения p; ||n||_p=p^{-v_p(n)}
  • Ультраметрика: ||x+y||_p≤max(||x||_p,||y||_p)
  • Z_p: пополнение Z; Q_p: пополнение Q
  • Теорема Островского: нормы на Q = {|·|_∞}∪{|·|_p}
  • Лемма Гензеля: простой корень mod p → корень в Z_p

Дальнейшие пути

Изученные концепции открывают следующие разделы.

  • arith-29-adeles — extends

Вопросы для размышления

  • Приведите пример.
  • Как концепция связана с другими разделами?
p-адические числа

0

1

Войти