Вычисление интегралов вычетами

Интеграл $\int_{-\infty}^{+\infty} \frac{\sin x}{x}\, dx = \pi$ не берётся элементарными методами: первообразной от $\sin x / x$ нет в замкнутой форме. Через лемму Жордана и обход полюса в нуле - три строки. Тот же приём в 1949 году у Фейнмана дал правило $+i\varepsilon$ для пропагаторов в КЭД. В 2015 году обработка сигналов LIGO от слияния чёрных дыр опиралась на ровно те же контурные интегралы при расчёте откликов фильтров. От Коши 1814 года до гравитационных волн - один инструмент.

• **LIGO 2015 (GW150914):** реконструкция формы сигнала слияния чёрных дыр использует обратное преобразование Фурье через контурное интегрирование откликов согласованных фильтров
• **КЭД (Фейнман, 1949):** правило $+i\varepsilon$ для электронного пропагатора - тот же выбор контура, что и в лемме Жордана
• **MRI-реконструкция:** обратное БПФ k-пространства в изображение использует те же интегралы по замкнутым контурам
• **SymPy `integrate`:** под капотом для несобственных интегралов от рациональных функций вызывается алгоритм через вычеты

Предварительные знания

• Теория вычетов

Интегралы рациональных функций

**1814 год. Огюстен-Луи Коши.** Молодой инженер Корпуса мостов и дорог посылает в Парижскую академию мемуар *Sur les intégrales définies*. Идея простая на словах: вещественный интеграл можно заменить контурным в комплексной плоскости. На практике это значит, что интегралы, которые сопротивляются Ньютону и Лейбницу, открываются за несколько строк. Через 200 лет тот же приём в SymPy, Mathematica и MATLAB выдаёт замкнутые формы для несобственных интегралов.

**Метод:** замыкаем контур полуокружностью большого радиуса в верхней полуплоскости. $$\int_{-\infty}^{+\infty} R(x)\, dx = 2\pi i \sum_{\mathrm{Im}\, z_k > 0} \mathrm{Res}(R, z_k)$$ **Условие:** $\deg q \geq \deg p + 2$ (интеграл по полуокружности $\to 0$). **Канонический пример:** $\int_{-\infty}^{+\infty} dx/(x^2+a^2) = \pi/a$.

Условие $\deg q \geq \deg p + 2$ обязательно. Для $\int dx/(x^2+1)$ работает; для $\int x\,dx/(x^2+1)$ - нет: подынтегральная функция не интегрируема в несобственном смысле без оговорок (только в смысле главного значения).

Лемма Жордана и тригонометрические интегралы

Камиль Жордан в *Cours d'analyse* (1893) сформулировал оценку, которая стала ключом ко всем интегралам вида $\int R(x) e^{iax}\, dx$. Степенного убывания $R$ для дуги уже не хватает - спасает экспоненциальная амплитуда $|e^{iaz}| = e^{-a\,\mathrm{Im}\,z}$, которая сама даёт затухание в верхней полуплоскости.

**Лемма Жордана:** если $R(z) \to 0$ равномерно при $|z| \to \infty$ в верхней полуплоскости и $a > 0$, то $$\lim_{R \to \infty} \int_{\Gamma_R} R(z) e^{iaz}\, dz = 0$$ **Следствие:** $$\int_{-\infty}^{+\infty} R(x) e^{iax}\, dx = 2\pi i \sum_{\mathrm{Im}\,z_k > 0} \mathrm{Res}(R(z) e^{iaz}, z_k)$$ Для $\cos(ax)$ берём $\mathrm{Re}$, для $\sin(ax)$ - $\mathrm{Im}$.

Если $a < 0$, замыкаем не вверх, а вниз: тогда $|e^{iaz}| = e^{|a|\,\mathrm{Im}\,z}$ убывает в нижней полуплоскости. Знак $a$ диктует выбор контура - частая ошибка на собеседованиях.

Тригонометрические интегралы

Интегралы $\int_0^{2\pi} R(\cos\theta, \sin\theta)\, d\theta$ имеют естественную геометрию: $\theta$ обходит окружность. Замена $z = e^{i\theta}$ материализует эту геометрию - вещественный интеграл превращается в контурный по единичной окружности.

**Замена:** $z = e^{i\theta}$, $d\theta = dz/(iz)$ $$\cos\theta = \frac{z + z^{-1}}{2}, \quad \sin\theta = \frac{z - z^{-1}}{2i}$$ **Формула:** $$\int_0^{2\pi} R(\cos\theta, \sin\theta)\, d\theta = \oint_{|z|=1} R\!\left(\tfrac{z+z^{-1}}{2}, \tfrac{z-z^{-1}}{2i}\right) \frac{dz}{iz} = 2\pi \sum_{|z_k|<1} \mathrm{Res}$$

Разрезы и многозначные функции

Функции $x^\alpha$, $\ln x$ многозначны в $\mathbb{C}$: при обходе вокруг нуля аргумент получает приращение $2\pi$, а вместе с ним значение функции меняется. Разрез (branch cut) запрещает обходить ноль, выделяя одну ветвь. Контур-замочная скважина (keyhole) идёт вдоль разреза с двух сторон, и скачок функции работает на нас.

**Контур типа "замочная скважина"** (keyhole) для $\int_0^{+\infty} x^\alpha f(x)\, dx$: Большая окружность $\to$ верхний берег разреза $\to$ малая окружность вокруг $0$ $\to$ нижний берег разреза. На верхнем берегу $\arg z = 0$, на нижнем $\arg z = 2\pi$, поэтому $z^\alpha$ умножается на $e^{2\pi i \alpha}$. **Классический результат:** $$\int_0^{+\infty} \frac{x^{\alpha - 1}}{1 + x}\, dx = \frac{\pi}{\sin(\pi\alpha)}, \quad 0 < \alpha < 1$$ Это отражение тождества $B(\alpha, 1 - \alpha) = \Gamma(\alpha)\Gamma(1-\alpha) = \pi/\sin(\pi\alpha)$.

Ключевые идеи

• **Рациональные:** замыкаем полуокружностью $\Rightarrow$ сумма вычетов в верхней полуплоскости, нужно $\deg q \geq \deg p + 2$
• **Лемма Жордана:** для $e^{iaz}$ с $a > 0$ интеграл по большой полуокружности обнуляется при более слабом условии $\deg q \geq \deg p + 1$
• **Тригонометрические:** замена $z = e^{i\theta}$ превращает $\int_0^{2\pi}$ в контурный интеграл по $|z| = 1$, считаем полюсы внутри
• **Разрезы:** keyhole-контур использует скачок $z^\alpha$ и $\ln z$ при обходе нуля - $\int_0^{+\infty} x^{\alpha-1}/(1+x)\, dx = \pi/\sin(\pi\alpha)$

Связанные темы

Контурное интегрирование - вычислительный двигатель прикладного комплексного анализа:

• Теория вычетов — Все четыре приёма (рациональный, Жордан, тригонометрический, keyhole) - прямые следствия теоремы Коши о вычетах
• Конформные отображения — Преобразование Жуковского и Мёбиуса переводят сложные контуры в стандартные единичные окружности
• Комплексный анализ в CS — Извлечение коэффициентов производящих функций через формулу Коши - тот же контурный интеграл

Вопросы для размышления

• Почему для рациональных функций требуется $\deg q \geq \deg p + 2$, а лемма Жордана довольствуется $\deg q \geq \deg p + 1$? Что даёт экспонента $e^{iaz}$?
• $\int_{-\infty}^{+\infty} \sin x / x\, dx$ - полюс лежит на самом контуре. Как технически обходится эта особенность и какой получается множитель $\pi i$?
• Что случится с keyhole-контуром, если разрез провести по мнимой оси вместо положительной вещественной? Какие интегралы это позволит брать?

Связанные уроки

• calc-14-improper