Математический анализ

Несобственные интегралы

Цели урока

Понять два типа несобственных интегралов: бесконечные пределы и точки разрыва
Вычислять несобственные интегралы через предел собственных
Применять признаки сравнения для определения сходимости
Знать p-интеграл: $\int_1^\infty x^{-p}\,dx$ сходится тогда и только тогда, когда p > 1
Понять гамма-функцию $\Gamma(n)$ как несобственный интеграл

Предварительные знания

Методы интегрирования
Формула Ньютона-Лейбница
Первообразные и таблица интегралов

Леонард Эйлер в 1729 году пишет письмо Гольдбаху: как продолжить факториал на нецелые? Ответ — интеграл $\Gamma(x) = \int_0^\infty t^{x-1} e^{-t}\,dt$, сходящийся для $x > 0$. Через сто лет Огюстен Коши предлагает «главное значение» (PV) для расходящихся интегралов в электростатике. А в 1973 году Блэк, Шоулз и Мертон записывают цену опциона как $\int_{-\infty}^{\infty}$ — несобственный интеграл по нормальной плотности. С тех пор каждый Bloomberg-терминал вычисляет именно его.

**Black-Scholes на Bloomberg**: цена европейского опциона $C = S \Phi(d_1) - K e^{-rT}\Phi(d_2)$, где $\Phi$ — несобственный интеграл $\int_{-\infty}^{x} e^{-t^2/2}\,dt/\sqrt{2\pi}$
**Гамма-функция в scipy.special.gamma**: $\Gamma(n) = (n-1)!$, но определена и для $n = 1/2$, $n = -3.7$ и т.п. Базовый кирпич для бета-распределения, $\chi^2$, t-распределения
**Principal value Коши в обработке сигналов**: преобразование Гильберта $\text{PV}\int f(t)/(t-x)\,dt$ строит аналитический сигнал. Используется в SDR-приёмниках и AM-демодуляции
**QFT-регуляризация**: расходящиеся $\int d^4k$ в петлях Фейнмана делают конечными через dim. regularization — аналитическое продолжение несобственного интеграла на комплексную размерность

От парадоксов к строгости

Джон Валлис в 1656 году вычислял площади под кривыми до бесконечности, не беспокоясь о строгости. Эйлер в 1730-х годах открыл гамма-функцию, которая по сути является несобственным интегралом. Однако строгое определение через предел дал Коши в 1823 году - он же указал, что не всякий несобственный интеграл сходится, и сформулировал критерии сходимости.

Тип I: бесконечные пределы интегрирования

Если $f$ интегрируема на $[a, b]$ для любого $b > a$, то несобственный интеграл определяется как предел:

Если предел существует и конечен - интеграл **сходится**. Иначе - **расходится**.

$\int_{-\infty}^b f\,dx = \lim_{a \to -\infty} \int_a^b f\,dx$
$\int_{-\infty}^{+\infty} f\,dx = \int_{-\infty}^c f\,dx + \int_c^{+\infty} f\,dx$ (для любого $c$)

Сходящийся интеграл

$\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2}$

$\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^2} = \lim_{b \to \infty} \int_1^b x^{-2}\,dx$ $= \lim_{b \to \infty} \left[-\frac{1}{x}\right]_1^b = \lim_{b \to \infty}\left(-\frac{1}{b} + 1\right)$ $= 0 + 1 = \mathbf{1}$ Площадь под $1/x^2$ от 1 до ∞ **конечна** и равна 1!

Расходящийся интеграл

$\int_1^{\infty} \frac{dx}{x}$

$\int_1^{\infty} \frac{dx}{x} = \lim_{b \to \infty} \left[\ln x\right]_1^b = \lim_{b \to \infty} \ln b - 0$ $= +\infty$ **Интеграл расходится!** Хотя $1/x$ убывает, оно убывает «слишком медленно».

Какой из интегралов сходится: $\int_1^{\infty} \frac{dx}{x^{0.5}}$?

По p-критерию: $\int_1^{\infty} x^{-p}\,dx$ сходится ⟺ p > 1. Здесь p = 0.5 < 1 → расходится. Проверка: $\lim_{b\to\infty} [x^{0.5}/0.5]_1^b = \lim_{b\to\infty} 2b^{0.5} - 2 = +\infty$.

Тип II: разрывные подынтегральные функции

Если $f$ имеет вертикальную асимптоту в точке $c \in [a, b]$, то:

Разрыв в $x = b$: $\int_a^b f\,dx = \lim_{t \to b^-} \int_a^t f\,dx$
Разрыв в $x = a$: $\int_a^b f\,dx = \lim_{t \to a^+} \int_t^b f\,dx$
Разрыв внутри: $\int_a^b f\,dx = \int_a^c f\,dx + \int_c^b f\,dx$ (оба должны сходиться!)

Корень на нижнем пределе

$\int_0^1 \frac{dx}{\sqrt{x}}$

Функция $1/\sqrt{x} \to \infty$ при $x \to 0^+$ - вертикальная асимптота! $\int_0^1 x^{-1/2}\,dx = \lim_{t \to 0^+} \int_t^1 x^{-1/2}\,dx$ $= \lim_{t \to 0^+} \left[2\sqrt{x}\right]_t^1 = \lim_{t \to 0^+}(2 - 2\sqrt{t})$ $= 2 - 0 = \mathbf{2}$ ✓ Интеграл сходится!

Разрыв в нуле

$\int_{-1}^{1} \frac{dx}{x}$ - ловушка!

Интуитивно: функция нечётная, площади «слева» и «справа» компенсируют друг друга → 0? **Нет!** Оба интеграла расходятся: $\int_{-1}^0 \frac{dx}{x} = \lim_{t\to 0^-}[\ln|x|]_{-1}^t = \lim_{t\to 0^-} \ln|t| = -\infty$ $\int_0^1 \frac{dx}{x} = +\infty$ Интеграл расходится! (Существует «главное значение Коши» = 0, но это не то же самое.)

Если функция нечётная, то $\int_{-\infty}^{\infty} f(x)\,dx = 0$

Несобственный интеграл расходится, если хотя бы один из его «кусков» расходится

Для $\int_{-\infty}^{\infty}$ нужно сначала разбить на $\int_{-\infty}^0 + \int_0^{\infty}$ и проверить каждый. Нечётность не спасает, если оба бесконечны. Запись $\infty - \infty$ не определена в математике.

$\int_0^2 \frac{dx}{(x-1)^2}$ - сходится или расходится?

$1/(x-1)^2$ имеет неинтегрируемую особенность в x=1 (как $1/x^2$ у нуля). $\int_0^1 (x-1)^{-2}\,dx = \lim_{t\to1^-}[-(x-1)^{-1}]_0^t = \lim_{t\to1^-}(-1/(t-1) - 1) = +\infty$. Расходится!

$p$-интеграл и критерии сходимости

p-Интеграл (основной критерий)

**Мнемоника:** $\int_1^\infty$ - нужно p > 1 (чтобы убывало быстро); $\int_0^1$ - нужно p < 1 (чтобы не было сильной особенности). При p = 1 оба расходятся (логарифм).

Признак сравнения

Если $0 \leq f(x) \leq g(x)$ для всех $x \geq a$, то:

Если $\int_a^\infty g(x)\,dx$ сходится, то $\int_a^\infty f(x)\,dx$ тоже сходится
Если $\int_a^\infty f(x)\,dx$ расходится, то $\int_a^\infty g(x)\,dx$ тоже расходится

Признак сравнения в действии

$\int_1^\infty \frac{dx}{x^2 + 1}$

Нужно определить сходимость без вычисления (арктангенс - долго). $\frac{1}{x^2 + 1} \leq \frac{1}{x^2}$ при $x \geq 1$ $\int_1^\infty \frac{dx}{x^2} = 1$ - сходится (p=2 > 1) По признаку сравнения: $\int_1^\infty \frac{dx}{x^2+1}$ тоже сходится. (Точный ответ: $[\arctan x]_1^\infty = \pi/2 - \pi/4 = \pi/4$)

Предельный признак сравнения

Если $f, g \geq 0$ и $\lim_{x \to \infty} f(x)/g(x) = L$ (конечное, ненулевое), то оба интеграла сходятся или оба расходятся.

Предельное сравнение

$\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x}$

Сравним с $g(x) = 1/(x\ln x)$ - этот интеграл вычислим напрямую. $\int_2^\infty \frac{dx}{x\ln x}$, замена $u = \ln x$, $du = dx/x$: $= \int_{\ln 2}^\infty \frac{du}{u} = [\ln u]_{\ln 2}^\infty = +\infty$ **Расходится!** Убывает как $1/(x\ln x)$, что медленнее $1/x^p$ для любого $p>1$.

Сравнением определить: $\int_1^\infty \frac{\sin^2 x}{x^2}\,dx$ - сходится?

$0 \leq \sin^2 x \leq 1$, значит $\sin^2 x / x^2 \leq 1/x^2$. Т.к. $\int_1^\infty 1/x^2\,dx = 1 < \infty$, по признаку сравнения исходный интеграл тоже сходится.

Гамма-функция Эйлера

**Гамма-функция** - важнейший несобственный интеграл с параметром:

Два главных свойства:

**Гамма-функция обобщает факториал на вещественные числа!** $\Gamma(1) = 1 = 0!$ $\Gamma(2) = 1 = 1!$ $\Gamma(3) = 2 = 2!$ $\Gamma(4) = 6 = 3!$ Но также: $\Gamma(1/2) = \sqrt{\pi}$ (связь с интегралом Гаусса!) $\Gamma(3/2) = \frac{1}{2}\sqrt{\pi}$, $\Gamma(5/2) = \frac{3}{4}\sqrt{\pi}$

Доказательство Γ(n+1) = n!

Интегрирование по частям

$\Gamma(s+1) = \int_0^\infty x^s e^{-x}\,dx$ По частям: $u = x^s$, $dv = e^{-x}\,dx$, $du = sx^{s-1}\,dx$, $v = -e^{-x}$ $= [-x^s e^{-x}]_0^\infty + s\int_0^\infty x^{s-1} e^{-x}\,dx$ $= 0 + s\,\Gamma(s) = s\,\Gamma(s)$ Отсюда по индукции: $\Gamma(n+1) = n\cdot(n-1)\cdots 1 \cdot \Gamma(1) = n!$

Python: численное интегрирование несобственных интегралов

scipy.integrate для несобственных интегралов и гамма-функции

```python import numpy as np from scipy import integrate, special import matplotlib.pyplot as plt # === Численное вычисление несобственных интегралов === # 1. ∫₁^∞ 1/x² dx = 1 result, error = integrate.quad(lambda x: 1/x**2, 1, np.inf) print(f'∫₁^∞ 1/x² dx = {result:.6f} (ожидаем: 1.0)') # 2. ∫₀^1 1/√x dx = 2 result2, _ = integrate.quad(lambda x: 1/np.sqrt(x), 0, 1) print(f'∫₀^1 1/√x dx = {result2:.6f} (ожидаем: 2.0)') # 3. p-интеграл: исследуем сходимость print('\np-интеграл ∫₁^∞ x^{-p} dx:') for p in [0.5, 0.9, 1.0, 1.5, 2.0, 3.0]: try: val, _ = integrate.quad(lambda x: x**(-p), 1, np.inf) theory = 1/(p-1) if p > 1 else float('inf') print(f' p={p}: численно={val:.4f}, формула={theory:.4f}') except Exception: print(f' p={p}: расходится') # 4. Гамма-функция print('\nГамма-функция Γ(s):') s_vals = [0.5, 1, 1.5, 2, 2.5, 3, 3.5, 4, 5] for s in s_vals: # Через интеграл (только для умеренных s) if s <= 4: gamma_quad, _ = integrate.quad(lambda x: x**(s-1) * np.exp(-x), 0, np.inf) else: gamma_quad = None gamma_scipy = special.gamma(s) if s == int(s): factorial = np.math.factorial(int(s)-1) print(f' Γ({s}) = {gamma_scipy:.4f} = {int(s)-1}! = {factorial}') elif s == 0.5: print(f' Γ(0.5) = {gamma_scipy:.6f} ≈ √π = {np.sqrt(np.pi):.6f}') else: print(f' Γ({s}) = {gamma_scipy:.4f}') # 5. Визуализация гамма-функции fig, axes = plt.subplots(1, 2, figsize=(12, 5)) # График Γ(s) s_plot = np.linspace(0.2, 5, 500) gamma_plot = special.gamma(s_plot) ax = axes[0] ax.plot(s_plot, gamma_plot, 'b-', lw=2) ax.scatter([1,2,3,4,5], [1,1,2,6,24], color='red', s=100, zorder=5, label='n! (n=0,1,2,3,4)') ax.set_ylim(0, 30) ax.axhline(0, color='black', lw=0.5) ax.set_xlabel('s') ax.set_ylabel('Γ(s)') ax.set_title('Гамма-функция: обобщение факториала') ax.legend() ax.grid(True, alpha=0.3) # p-интеграл: сходимость vs p ax = axes[1] p_vals = np.linspace(0.1, 3, 1000) with np.errstate(divide='ignore', invalid='ignore'): values = np.where(p_vals > 1, 1/(p_vals-1), np.nan) ax.plot(p_vals[p_vals>1], values[p_vals>1], 'g-', lw=2, label='Значение = 1/(p-1)') ax.axvline(1, color='red', linestyle='--', lw=2, label='p=1 (граница)') ax.fill_between([0.1, 1], [0, 0], [30, 30], alpha=0.1, color='red', label='Расходится (p≤1)') ax.fill_between([1, 3], [0, 0], [30, 30], alpha=0.1, color='green', label='Сходится (p>1)') ax.set_ylim(0, 10) ax.set_xlabel('p') ax.set_ylabel('Значение интеграла') ax.set_title('$\\int_1^\\infty x^{-p}\\,dx$: сходимость при p>1') ax.legend(fontsize=8) ax.grid(True, alpha=0.3) plt.tight_layout() plt.show() ```

Интеграл Гаусса: жемчужина анализа

Важнейший несобственный интеграл в математике и физике:

Этот интеграл не берётся стандартными методами - его вычисляют через двойной интеграл в полярных координатах! $$I^2 = \left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx\right)^2 = \int_{-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy = \int_0^{2\pi}\int_0^\infty e^{-r^2}r\,dr\,d\theta = \pi$$ Отсюда $I = \sqrt{\pi}$. Именно поэтому нормальная плотность содержит множитель $1/\sqrt{2\pi}$ - для нормировки!

В чём ключевая идея раздела «5. Интеграл Гаусса - жемчужина анализа»?

Перескажите главное определение или результат раздела одним предложением.