Математический анализ

Основная теорема анализа

Цели урока

Понять глубокую связь между производной и интегралом
Освоить формулу Ньютона-Лейбница для вычисления интегралов
Применять FTC I для дифференцирования интегралов
Научиться замене переменной в определённом интеграле
Работать с обобщённой формулой для переменных пределов

Предварительные знания

Первообразные и неопределённый интеграл
Определённый интеграл
Цепное правило дифференцирования

Октябрь 1666, Вулсторп. Ньютон записывает в «октябрьском трактате»: если $A(x)$ — площадь под кривой от 0 до $x$, то $A'(x) = f(x)$. Параллельно его учитель Исаак Барроу в кембриджских лекциях 1664–66 уже доказал геометрически: касательная к графику площади имеет наклон, равный высоте исходной кривой. Барроу не увидел в этом универсальную теорему. Ньютон увидел — и связал площадь, путь, работу, заряд в одну формулу: $\int_a^b f = F(b) - F(a)$.

**GPS-приёмник**: интегрирует измеренные ускорения IMU между обновлениями спутникового сигнала. FTC превращает $a(t)$ в скорость и положение между фиксами раз в секунду
**Электросчётчик**: $E = \int_0^T P(t)\,dt = F(T) - F(0)$ — текущее показание счётчика и есть первообразная мощности, FTC в железе
**Wolfram Alpha / Mathematica**: команда Integrate[f, {x, a, b}] сначала ищет первообразную (Risch), затем применяет $F(b) - F(a)$. Без FTC численный интеграл был бы единственным выходом
**Heat equation в COMSOL**: интеграл $\int_\Omega \nabla \cdot q\,dV = \oint_{\partial\Omega} q \cdot dS$ — векторный аналог FTC, теорема Гаусса. Базис любой CFD-симуляции

Ньютон vs Лейбниц: спор столетия

Ньютон открыл эту связь около 1665 года, но не публиковал. Лейбниц независимо пришёл к тем же результатам в 1684 году и опубликовал первым. Разразился один из величайших споров в истории науки о приоритете. Сегодня мы знаем: оба открыли это независимо. Но нотация Лейбница ($\int$, $dx$) оказалась удобнее и используется до сих пор. Сама теорема - кульминация 2000 лет развития математики от Архимеда до XVII века.

Главная идея

Сцена: машина едет по шоссе. Спидометр показывает скорость $v(t)$ в каждый момент. Одометр показывает пройденный путь $s(t)$. Как они связаны?

**Скорость** - это производная пути: $v(t) = s'(t)$
**Путь** - это интеграл скорости: $s(t) = \int_0^t v(\tau)\,d\tau$

Это и есть суть Основной теоремы: **дифференцирование и интегрирование взаимно обратны**!

**Fundamental Theorem of Calculus (FTC)**: соединяет две центральные операции анализа - нахождение касательных (дифференцирование) и вычисление площадей (интегрирование).

В чём ключевая идея раздела «Главная идея»?

Перескажите главное определение или результат раздела одним предложением.

FTC I: Производная интеграла

Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$. Определим функцию:

Это "накопленная площадь" от $a$ до $x$. Теорема утверждает:

**Словами**: производная интеграла (по верхнему пределу) равна подынтегральной функции в этой точке.

**Геометрический смысл**: скорость накопления площади в точке $x$ равна высоте $f(x)$ в этой точке!

FTC I в действии

Производная интеграла с переменным пределом

$\frac{d}{dx}\int_0^x t^3\,dt$ По FTC I, ответ просто $f(x) = x^3$! **Проверка** (длинный путь): $\int_0^x t^3\,dt = \frac{t^4}{4}\Big|_0^x = \frac{x^4}{4}$ $\frac{d}{dx}\left(\frac{x^4}{4}\right) = x^3$ ✓

Чему равна $\frac{d}{dx}\int_1^x \cos t\,dt$?

По FTC I: производная интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции в точке $x$.

FTC II: Формула Ньютона-Лейбница

Если $F$ - первообразная для непрерывной функции $f$ на $[a, b]$, то:

**Революционность**: вместо сложного предела сумм Римана достаточно найти первообразную и подставить пределы!

Обозначение $F(x)\Big|_a^b$ читается как "F от x при x от a до b" и означает $F(b) - F(a)$.

Алгоритм вычисления определённого интеграла

Найти первообразную $F(x)$ для $f(x)$
Вычислить $F(b)$
Вычислить $F(a)$
Ответ: $F(b) - F(a)$

Площадь под параболой

Классический пример ∫₀¹ x² dx

$\int_0^1 x^2\,dx$ **Шаг 1**: Первообразная $F(x) = \frac{x^3}{3}$ **Шаг 2**: $F(1) = \frac{1^3}{3} = \frac{1}{3}$ **Шаг 3**: $F(0) = \frac{0^3}{3} = 0$ **Шаг 4**: $\int_0^1 x^2\,dx = \frac{1}{3} - 0 = \frac{1}{3}$ Площадь под параболой $y = x^2$ от 0 до 1 равна $\frac{1}{3}$!

Площадь под синусоидой

Интеграл ∫₀^π sin x dx

$\int_0^{\pi} \sin x\,dx$ **Первообразная**: $F(x) = -\cos x$ $= -\cos x\Big|_0^{\pi} = -\cos\pi - (-\cos 0)$ $= -(-1) - (-1) = 1 + 1 = 2$ **Ответ**: площадь под одной аркой синусоиды равна 2!

Интеграл экспоненты

∫₀¹ eˣ dx

$\int_0^1 e^x\,dx$ **Первообразная**: $F(x) = e^x$ $= e^x\Big|_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \approx 1.718$

При вычислении определённого интеграла нужно добавлять +C

Константа +C сокращается при вычитании: (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)

Определённый интеграл - это конкретное число, не семейство функций. Любая первообразная даст одинаковый ответ.

Чему равен $\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx$?

Первообразная $\frac{1}{x}$ это $\ln|x|$. Значит $\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$.

Обобщение: переменные пределы

Что если оба предела зависят от $x$? Применяем цепное правило:

**Мнемоника**: "верхний × производная верхнего − нижний × производная нижнего"

Верхний предел - функция

d/dx ∫₀^x² sin t dt

$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin t\,dt$ Здесь $a(x) = 0$, $b(x) = x^2$, $f(t) = \sin t$ $a'(x) = 0$, $b'(x) = 2x$ **По формуле**: $= \sin(x^2) \cdot 2x - \sin(0) \cdot 0$ $= 2x\sin(x^2)$

Оба предела - функции

d/dx ∫ₓ^x³ eᵗ dt

$\frac{d}{dx}\int_x^{x^3} e^t\,dt$ $a(x) = x$, $b(x) = x^3$, $f(t) = e^t$ $a'(x) = 1$, $b'(x) = 3x^2$ **По формуле**: $= e^{x^3} \cdot 3x^2 - e^x \cdot 1$ $= 3x^2 e^{x^3} - e^x$

Чему равна $\frac{d}{dx}\int_0^{x^3} t^2\,dt$?

По обобщённой формуле: $f(b(x)) \cdot b'(x) = (x^3)^2 \cdot 3x^2 = x^6 \cdot 3x^2 = 3x^8$.

Замена переменной в определённом интеграле

При замене переменной $u = g(x)$ в определённом интеграле **меняются пределы**:

**Преимущество**: не нужно возвращаться к старой переменной! Вычисляем сразу в новых пределах.

Замена с новыми пределами

∫₀¹ 2x·eˣ² dx

$\int_0^1 2x \cdot e^{x^2}\,dx$ **Замена**: $u = x^2$, $du = 2x\,dx$ **Новые пределы**: • При $x = 0$: $u = 0^2 = 0$ • При $x = 1$: $u = 1^2 = 1$ $= \int_0^1 e^u\,du = e^u\Big|_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1$ **Не нужно** подставлять $u = x^2$ обратно!

Тригонометрическая замена

∫₀^(π/2) cos x · sin²x dx

$\int_0^{\pi/2} \cos x \cdot \sin^2 x\,dx$ **Замена**: $u = \sin x$, $du = \cos x\,dx$ **Новые пределы**: • При $x = 0$: $u = \sin 0 = 0$ • При $x = \frac{\pi}{2}$: $u = \sin\frac{\pi}{2} = 1$ $= \int_0^1 u^2\,du = \frac{u^3}{3}\Big|_0^1 = \frac{1}{3}$

**Важно**: при замене переменной ВСЕГДА пересчитывайте пределы! Если забыть - результат будет неверным.

При замене $u = x^2$ в интеграле $\int_1^3 f(x^2) \cdot 2x\,dx$ какими станут новые пределы?

При $x = 1$: $u = 1^2 = 1$. При $x = 3$: $u = 3^2 = 9$. Новые пределы: от 1 до 9.

Единство теоремы

Две части FTC - это две стороны одной медали:

FTC I	FTC II
$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$	$\int_a^b F'(x)\,dx = F(b) - F(a)$
Производная "отменяет" интеграл	Интеграл "отменяет" производную
Дифференцирование после интегрирования	Интегрирование после дифференцирования
Даёт функцию	Даёт число

В чём ключевая идея раздела «Единство теоремы»?

Перескажите главное определение или результат раздела одним предложением.

Основа всего анализа

FTC - фундамент для всего дальнейшего:

Методы интегрирования — Замена переменной, по частям - следующий урок
Несобственные интегралы — Расширение на бесконечные пределы
Дифференциальные уравнения — Решение через интегрирование
Теория меры — Обобщение интеграла Римана на интеграл Лебега

Итоги

**FTC I**: $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$ - производная "отменяет" интеграл
**FTC II**: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ - формула Ньютона-Лейбница
**Суть**: дифференцирование и интегрирование - обратные операции
**Переменные пределы**: $f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x)$
**Замена**: при $u = g(x)$ новые пределы $g(a)$ и $g(b)$

Вопросы для размышления

Почему FTC считается одной из важнейших теорем в истории математики?
Как геометрически объяснить, что производная площади равна высоте?
Почему константа +C не нужна при вычислении определённого интеграла?
В чём преимущество замены переменной с пересчётом пределов?

Связанные уроки

stat-02-estimation

Математический анализ

Основная теорема анализа

Цели урока

Понять глубокую связь между производной и интегралом
Освоить формулу Ньютона-Лейбница для вычисления интегралов
Применять FTC I для дифференцирования интегралов
Научиться замене переменной в определённом интеграле
Работать с обобщённой формулой для переменных пределов

Предварительные знания

Первообразные и неопределённый интеграл
Определённый интеграл
Цепное правило дифференцирования

**GPS-приёмник**: интегрирует измеренные ускорения IMU между обновлениями спутникового сигнала. FTC превращает $a(t)$ в скорость и положение между фиксами раз в секунду
**Электросчётчик**: $E = \int_0^T P(t)\,dt = F(T) - F(0)$ — текущее показание счётчика и есть первообразная мощности, FTC в железе
**Wolfram Alpha / Mathematica**: команда Integrate[f, {x, a, b}] сначала ищет первообразную (Risch), затем применяет $F(b) - F(a)$. Без FTC численный интеграл был бы единственным выходом
**Heat equation в COMSOL**: интеграл $\int_\Omega \nabla \cdot q\,dV = \oint_{\partial\Omega} q \cdot dS$ — векторный аналог FTC, теорема Гаусса. Базис любой CFD-симуляции

Ньютон vs Лейбниц: спор столетия

Главная идея

**Скорость** - это производная пути: $v(t) = s'(t)$
**Путь** - это интеграл скорости: $s(t) = \int_0^t v(\tau)\,d\tau$

Это и есть суть Основной теоремы: **дифференцирование и интегрирование взаимно обратны**!

В чём ключевая идея раздела «Главная идея»?

Перескажите главное определение или результат раздела одним предложением.

FTC I: Производная интеграла

Пусть $f$ непрерывна на $[a, b]$. Определим функцию:

Это "накопленная площадь" от $a$ до $x$. Теорема утверждает:

**Словами**: производная интеграла (по верхнему пределу) равна подынтегральной функции в этой точке.

**Геометрический смысл**: скорость накопления площади в точке $x$ равна высоте $f(x)$ в этой точке!

FTC I в действии

Производная интеграла с переменным пределом

Чему равна $\frac{d}{dx}\int_1^x \cos t\,dt$?

По FTC I: производная интеграла по верхнему пределу равна подынтегральной функции в точке $x$.

FTC II: Формула Ньютона-Лейбница

Если $F$ - первообразная для непрерывной функции $f$ на $[a, b]$, то:

Обозначение $F(x)\Big|_a^b$ читается как "F от x при x от a до b" и означает $F(b) - F(a)$.

Алгоритм вычисления определённого интеграла

Найти первообразную $F(x)$ для $f(x)$
Вычислить $F(b)$
Вычислить $F(a)$
Ответ: $F(b) - F(a)$

Площадь под параболой

Классический пример ∫₀¹ x² dx

Площадь под синусоидой

Интеграл ∫₀^π sin x dx

Интеграл экспоненты

∫₀¹ eˣ dx

$\int_0^1 e^x\,dx$ **Первообразная**: $F(x) = e^x$ $= e^x\Big|_0^1 = e^1 - e^0 = e - 1 \approx 1.718$

При вычислении определённого интеграла нужно добавлять +C

Константа +C сокращается при вычитании: (F(b) + C) - (F(a) + C) = F(b) - F(a)

Чему равен $\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx$?

Первообразная $\frac{1}{x}$ это $\ln|x|$. Значит $\int_1^2 \frac{1}{x}\,dx = \ln 2 - \ln 1 = \ln 2 - 0 = \ln 2$.

Обобщение: переменные пределы

Что если оба предела зависят от $x$? Применяем цепное правило:

**Мнемоника**: "верхний × производная верхнего − нижний × производная нижнего"

Верхний предел - функция

d/dx ∫₀^x² sin t dt

$\frac{d}{dx}\int_0^{x^2} \sin t\,dt$ Здесь $a(x) = 0$, $b(x) = x^2$, $f(t) = \sin t$ $a'(x) = 0$, $b'(x) = 2x$ **По формуле**: $= \sin(x^2) \cdot 2x - \sin(0) \cdot 0$ $= 2x\sin(x^2)$

Оба предела - функции

d/dx ∫ₓ^x³ eᵗ dt

$\frac{d}{dx}\int_x^{x^3} e^t\,dt$ $a(x) = x$, $b(x) = x^3$, $f(t) = e^t$ $a'(x) = 1$, $b'(x) = 3x^2$ **По формуле**: $= e^{x^3} \cdot 3x^2 - e^x \cdot 1$ $= 3x^2 e^{x^3} - e^x$

Чему равна $\frac{d}{dx}\int_0^{x^3} t^2\,dt$?

По обобщённой формуле: $f(b(x)) \cdot b'(x) = (x^3)^2 \cdot 3x^2 = x^6 \cdot 3x^2 = 3x^8$.

Замена переменной в определённом интеграле

При замене переменной $u = g(x)$ в определённом интеграле **меняются пределы**:

**Преимущество**: не нужно возвращаться к старой переменной! Вычисляем сразу в новых пределах.

Замена с новыми пределами

∫₀¹ 2x·eˣ² dx

Тригонометрическая замена

∫₀^(π/2) cos x · sin²x dx

**Важно**: при замене переменной ВСЕГДА пересчитывайте пределы! Если забыть - результат будет неверным.

При замене $u = x^2$ в интеграле $\int_1^3 f(x^2) \cdot 2x\,dx$ какими станут новые пределы?

При $x = 1$: $u = 1^2 = 1$. При $x = 3$: $u = 3^2 = 9$. Новые пределы: от 1 до 9.

Единство теоремы

Две части FTC - это две стороны одной медали:

FTC I	FTC II
$\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$	$\int_a^b F'(x)\,dx = F(b) - F(a)$
Производная "отменяет" интеграл	Интеграл "отменяет" производную
Дифференцирование после интегрирования	Интегрирование после дифференцирования
Даёт функцию	Даёт число

В чём ключевая идея раздела «Единство теоремы»?

Перескажите главное определение или результат раздела одним предложением.

Основа всего анализа

FTC - фундамент для всего дальнейшего:

Методы интегрирования — Замена переменной, по частям - следующий урок
Несобственные интегралы — Расширение на бесконечные пределы
Дифференциальные уравнения — Решение через интегрирование
Теория меры — Обобщение интеграла Римана на интеграл Лебега

Итоги

**FTC I**: $\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)\,dt = f(x)$ - производная "отменяет" интеграл
**FTC II**: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ - формула Ньютона-Лейбница
**Суть**: дифференцирование и интегрирование - обратные операции
**Переменные пределы**: $f(b(x))b'(x) - f(a(x))a'(x)$
**Замена**: при $u = g(x)$ новые пределы $g(a)$ и $g(b)$

Вопросы для размышления

Почему FTC считается одной из важнейших теорем в истории математики?
Как геометрически объяснить, что производная площади равна высоте?
Почему константа +C не нужна при вычислении определённого интеграла?
В чём преимущество замены переменной с пересчётом пределов?

Связанные уроки

stat-02-estimation