Математический анализ
Определённый интеграл
1665-1666: Ньютон в годы "чумной" изоляции разрабатывает метод флюксий. Лейбниц независимо приходит к той же идее десятилетием позже и публикует её в 1684. Они открывают одно: нахождение площади и нахождение касательной - обратные операции. Две тысячи лет геометрии Архимеда сжимаются в одну формулу.
- **Метод Симпсона в SciPy**: scipy.integrate.simpson — численное приближение определённого интеграла по 3 точкам с погрешностью $O(h^4)$. Используется когда первообразная не выражается в элементарных функциях
- **Black-Scholes (1973)**: цена европейского опциона — определённый интеграл от плотности log-normal распределения. Каждый день на рынках мира пересчитывают триллионы долларов через эту формулу
- **Moments of inertia в SolidWorks**: интеграл $\int r^2\,dm$ по объёму детали — задаёт момент инерции коленвала, лопасти турбины, любой вращающейся конструкции
- **LIGO (2015)**: обнаружение гравитационных волн — корреляционный интеграл $\int h(t)\,s(t)\,dt$ сигнала с шаблоном. Чувствительность определяется именно сходимостью этого интеграла
Предварительные знания
- Первообразные и неопределённый интеграл
- Понятие предела
- Суммы и сигма-нотация
Суммы Римана: площадь через предел
Хотим найти площадь под графиком $f(x)$ на $[a, b]$. Идея: разбить отрезок на $n$ частей, на каждой построить прямоугольник, сложить площади, устремить $n \to \infty$.
| Тип суммы | Формула | Какую высоту берём |
|---|---|---|
| **Левая** $L_n$ | $\sum_{i=0}^{n-1} f(x_i)\Delta x$ | Левый конец каждого отрезка |
| **Правая** $R_n$ | $\sum_{i=1}^{n} f(x_i)\Delta x$ | Правый конец каждого отрезка |
| **Средняя** $M_n$ | $\sum_{i=1}^{n} f\left(\frac{x_{i-1}+x_i}{2}\right)\Delta x$ | Середина каждого отрезка |
При $n \to \infty$ все три суммы стремятся к одному пределу - **определённому интегралу** (если функция интегрируема).
**Важное отличие**: неопределённый интеграл $\int f(x)\,dx$ - это семейство функций ($+ C$), а определённый интеграл $\int_a^b f(x)\,dx$ - это **число**!
При вычислении $\int_0^2 x\,dx$ с помощью правой суммы при $n = 4$, чему равна $\Delta x$?
Свойства и геометрический смысл
Если $f(x) \geq 0$ на $[a, b]$, интеграл равен **площади криволинейной трапеции** - фигуры между графиком $y = f(x)$, осью $Ox$ и вертикалями $x = a$, $x = b$.
Если функция отрицательна (график ниже оси $Ox$), интеграл даёт **отрицательное** значение. Это "площадь со знаком минус". $\int_0^\pi \sin x\,dx = 2$, $\int_\pi^{2\pi} \sin x\,dx = -2$, $\int_0^{2\pi} \sin x\,dx = 0$.
**Пять ключевых свойств:**
**Теорема о среднем значении**: если $f$ непрерывна на $[a, b]$, то существует $c \in [a, b]$ такое, что $\int_a^b f(x)\,dx = f(c)\cdot(b - a)$. Из этого следует формула среднего значения функции:
Интеграл всегда равен площади фигуры
Интеграл даёт "алгебраическую" площадь: над осью со знаком +, под осью со знаком -
Для геометрической площади (всегда положительной) нужно разбить область: $S = \int_a^c f(x)\,dx + \left|\int_c^b f(x)\,dx\right|$
Если $\int_0^4 f(x)\,dx = 20$, чему равно среднее значение $f$ на $[0, 4]$?
Основная теорема анализа
1665-1666: Ньютон в годы "чумной" изоляции в Вулсторпе разрабатывает метод флюксий и понимает, что нахождение площади и нахождение касательной - обратные операции. Лейбниц независимо приходит к той же идее в 1675-1676 и публикует её в 1684 в Acta Eruditorum. Это объединяет две тысячи лет геометрии Архимеда с новым анализом.
**Почему это великое открытие?** До основной теоремы суммирование площадей (интегрирование) и нахождение касательных (дифференцирование) казались несвязанными задачами. Теорема показала: это обратные операции - как умножение и деление.
Пример: $\int_1^3 x^2\,dx = \frac{x^3}{3}\Big|_1^3 = \frac{27}{3} - \frac{1}{3} = \frac{26}{3} \approx 8.67$. Без суммирования, только первообразная и два подставления.
Чему равен $\int_0^4 2x\,dx$, используя формулу Ньютона-Лейбница?
Итог
- **Определённый интеграл** $\int_a^b f(x)\,dx$ - предел сумм Римана, это число
- **Геометрический смысл**: алгебраическая площадь (со знаком) под кривой
- **Свойства**: линейность, аддитивность, смена пределов меняет знак
- **Теорема о среднем**: $\int_a^b f\,dx = f(c)(b-a)$ для некоторого $c \in [a,b]$
- **Основная теорема**: $\int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a)$ - дифференцирование и интегрирование обратны
Основная теорема анализа
Определённый интеграл - мост между двумя великими идеями:
- Формула Ньютона-Лейбница — Вычисление интеграла через первообразную - следующий урок!
- Методы интегрирования — Техники для сложных функций
- Несобственные интегралы — Интегралы с бесконечными пределами
Вопросы для размышления
- Почему интеграл под осью $Ox$ отрицательный, а не нулевой?
- Как связаны левая и правая суммы Римана для монотонной функции?
- Почему при смене пределов интегрирования меняется знак?
- В чём геометрический смысл теоремы о среднем значении?