Теория категорий
Операды
Джон Питер Мэй в 1972 году доказал, что пространства петель в точности - это алгебры над операдой малых дисков. 50 лет спустя E_n-алгебры стали центральным языком производной алгебраической геометрии и теории деформаций.
- Топологическая квантовая теория поля: D-брана категории = E_n-алгебра в производной категории
- Деформационная теория: L_∞-алгебры и A_∞-алгебры - алгебры над соответствующими операдами
- Алгебраическая геометрия: фактор-алгебры Луи в производной AGeo основаны на E_n-операдах
Предварительные знания
Определение операды
Операды были введены J. Peter May в 1972 году для описания алгебраической структуры итерированных пространств петель, а в 1990-х переоткрыты Лодеем и другими. Сегодня операды классифицируют типы гомотопий E_n-алгебр (Lurie, 2009) и лежат в основе теорем формальности, используемых в деформационном квантовании (Kontsevich, 1997).
Операда P - коллекция {P(n)}_{n≥0} правых S_n-модулей с единицей η: k → P(1) и операциями состава γ: P(k) ⊗ P(n_1) ⊗ … ⊗ P(n_k) → P(n_1+…+n_k), удовлетворяющими ассоциативности, единичности и эквивариантности. P-алгебра - объект A с действием P(n) ⊗ A^⊗n → A, согласованным с γ.
Какова размерность Lie(4)?
Операда малых дисков и пространства петель
Топологическая операда малых n-дисков D_n: D_n(k) = пространство конфигураций k непересекающихся дисков в D^n. Теорема Мэя (1972): X - n-кратное пространство петель тогда и только тогда, когда X - алгебра над D_n. Это даёт машину построения пространств с богатой петлевой структурой.
Что характеризует теорема признания Мэя?
Ключевые идеи
- Операда P: {P(n)} с S_n-действием, единицей и ассоциативным составом γ
- dim Ass(n) = n!, dim Com(n) = 1, dim Lie(n) = (n-1)! - классические случаи
- Koszul-дуальность: Lie^! = Com, Com^! = Lie, Ass^! = Ass
- D_n - операда малых n-дисков: D_n(k) = конфигурации k дисков
- Теорема Мэя: X - Ω^n-пространство ⟺ X - D_n-алгебра
Дальнейшие пути
Изученные концепции открывают следующие разделы.
- ct-28-model-categories — extends
Вопросы для размышления
- Приведите конкретный пример вычисления.
- Как изученные концепции связаны с другими разделами математики?