Модельные категории

Дэниел Квилен в 1967 году аксиоматизировал гомотопию в книге «Homotopical Algebra», создав язык, охвативший топологию, алгебраическую геометрию и теорию типов. Модельные категории - скелет современной гомотопической математики.

• Производная алгебраическая геометрия: ∞-топосы строятся как модельные категории симплициальных пучков
• Теория типов: модельная структура на компьютерных языках типов даёт семантику HoTT
• Стабильная гомотопия: спектры (модели для обобщённых теорий когомологий) живут в модельных категориях

Предварительные знания

• Предыдущий урок

Аксиомы модельной категории

Куиллен ввёл модельные категории в монографии Homotopical Algebra (1967), чтобы объединить гомотопическую теорию и гомологическую алгебру. Этот аппарат лежит в основе современных оснований: книга Лурье Higher Topos Theory (2009) строит квазикатегории на модельных структурах Жояля-Куиллена, а локализация Босфилда даёт хроматические стабильные категории, на которых решена задача об инварианте Кервэра (Hill-Hopkins-Ravenel, 2009).

Модельная категория (C, W, Cof, Fib) удовлетворяет MC1 - MC5: (MC1) конечные пределы/копределы существуют; (MC2) два из трёх в W ⟹ третий в W; (MC3) замкнутость относительно ретрактов; (MC4) ACof ⊥ Fib и Cof ⊥ AFib (лифтинг); (MC5) каждый морфизм факторизуется как (ACof, Fib) и (Cof, AFib). Ho(C) = C[W⁻¹] - гомотопическая категория.

Примеры и приложения

Канонические примеры: (1) sSet с Кан-Квиленом; (2) Ch(k) комплексы с квазиизоморфизмами - модель производной категории D(k); (3) CGWH топологические пространства - эквивалентна sSet через |·| и Sing. Инвариантность: модельные эквивалентности сохраняют Ho(C) и пространства морфизмов Map(X,Y).

Ключевые идеи

• Модельная категория (C, W, Cof, Fib): MC1 - MC5 включают замкнутость, лифтинг, факторизацию
• ACof = W ∩ Cof, AFib = W ∩ Fib - тривиальные классы
• Ho(C) = C[W⁻¹]: морфизмы = классы гомотопий QX → RY
• SOA строит факторизации трансфинитной композицией pushout-ов
• sSet ≃_Q Top: симплициальные мн-ва и топологические пространства квиленовски эквивалентны

Дальнейшие пути

Изученные концепции открывают следующие разделы.

• ct-29-homotopy-type-theory — extends

Вопросы для размышления

• Приведите конкретный пример вычисления.
• Как изученные концепции связаны с другими разделами математики?

Связанные уроки

• plt-06-lambda-calculus
• calc-07-derivative-rules