ОДУ первого порядка

Одно уравнение $dy/dt = ky$ объясняет рост COVID-19, остывание кофе, распад урана-235 и проценты по кредиту. Ньютон записал его в 1671. Через 350 лет SpaceX Falcon 9 садится на морскую платформу - бортовой компьютер решает систему из 14 таких уравнений в реальном времени, 50 раз в секунду. Одно уравнение. Бесконечные последствия.

• **SpaceX Falcon 9:** система управления посадкой - 14 связанных ОДУ первого порядка, 50 Гц, точность приземления 10 см. Численный метод Рунге-Кутта 4-го порядка в каждом цикле
• **Эпидемиология:** SIR-модель COVID-19 начинается с $dI/dt = \beta \cdot S \cdot I - \gamma \cdot I$ - нелинейное ОДУ, разделение переменных не работает, используют численные методы
• **Нейронные сети:** Neural ODE (2018, NeurIPS) - слои как непрерывное ОДУ вместо дискретных. Residual networks есть метод Эйлера для ОДУ $dh/dt = f(h, t)$
• **Фармакология:** концентрация лекарства $dC/dt = -kC + D(t)$ - линейное ОДУ с интегрирующим множителем. На этом уравнении рассчитывают каждую дозировку

Уравнения с разделяющимися переменными

$dy/dt = ky$ - уравнение, описывающее рост COVID, радиоактивный распад и банковский процент одновременно. Правая часть распадается на произведение: $k$ (функция от... ничего) и $y$ (функция от $y$). Разделяем переменные: $dy/y = k\,dt$, интегрируем обе стороны.

Общий случай: $dy/dx = f(x) \cdot g(y)$. Разделяем: $dy/g(y) = f(x)\,dx$. Интегрируем. Пример: $dy/dx = xy$. Разделяем: $dy/y = x\,dx$. Интегрируем: $\ln|y| = x^2/2 + C$. Решение: $y = Ae^{x^2/2}$, где $A = e^C$ - произвольная постоянная. На этой форме - кривые нормального распределения в статистике.

**Ловушка деления на ноль:** при разделении dy/g(y) мы делим на g(y). Точки, где g(y) = 0 - это **стационарные решения** (y = const). Их нужно проверять отдельно!

**Экспоненциальный рост** dy/dx = ky - фундаментальная модель: рост популяции, радиоактивный распад, капитализация процентов. Одно уравнение описывает всё это.

Линейные ОДУ первого порядка

**Линейное ОДУ первого порядка:** $y' + P(x)y = Q(x)$. Ключевое слово - «линейное»: $y$ в первой степени, никаких $y^2$, $y \cdot y'$ и т.д. Эти уравнения решаются **всегда** - существует явная формула. Именно это делает их главным инструментом в физике и инженерии.

Метод: умножаем обе части на **интегрирующий множитель** $\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx}$. Левая часть магически превращается в производную произведения: $(\mu \cdot y)' = \mu \cdot Q$. Интегрируем и делим на $\mu$. Именно так рассчитывается концентрация лекарства в крови через $t$ часов после введения.

**Формула общего решения:** y(x) = (1/mu(x)) * [integral(mu(x)·Q(x)dx) + C], где mu(x) = exp(integral P(x)dx). Эта формула работает для ЛЮБОГО линейного ОДУ 1-го порядка.

RC-цепь: $dV/dt + V/(RC) = E/(RC)$. Охлаждение тела: $dT/dt = -k(T - T_{\text{env}})$. Концентрация лекарства: $dC/dt = -kC + D(t)$. Три разные физические системы - одна математическая структура. Один метод решает все три.

Точные уравнения

Уравнение $M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0$ называется **точным**, если существует функция $F(x,y)$ такая, что $dF = M\,dx + N\,dy$. Тогда $F(x,y) = C$ - неявное решение. Физически: поле $(M, N)$ консервативно - является градиентом потенциала $F$. Силовые поля в механике и электростатике ищутся именно так.

**Критерий точности:** $\partial M/\partial y = \partial N/\partial x$. Это следует из равенства смешанных производных $\partial^2 F/\partial x\partial y = \partial^2 F/\partial y\partial x$. Один тест - и сразу ясно, есть ли потенциал.

**Алгоритм решения:** 1) Проверить dM/dy = dN/dx. 2) Интегрировать F = integral(M dx) + g(y). 3) Найти g(y) из условия dF/dy = N. 4) Записать F(x,y) = C.

Геометрически: поле $(M, N)$ является градиентом $F$. Решения - линии уровня $F(x,y) = C$. Изолинии давления на погодной карте. Эквипотенциали электрического поля. Тот же математический объект.

Интегрирующий множитель

Уравнение не точное? Умножить обе части на функцию $\mu(x,y)$, чтобы оно **стало** точным. Такая функция называется **интегрирующий множитель**. Идея трансформации через умножение - та же самая, что gauge invariance в квантовой электродинамике.

В общем случае найти $\mu$ так же сложно, как решить исходное уравнение. Но два частных случая работают всегда: если $(\partial M/\partial y - \partial N/\partial x)/N$ зависит только от $x$ - то $\mu = \mu(x)$; если $(\partial N/\partial x - \partial M/\partial y)/M$ зависит только от $y$ - то $\mu = \mu(y)$.

**Связь с линейными ОДУ:** для y' + P(x)y = Q(x) интегрирующий множитель mu(x) = exp(∫P(x)dx) - это тот же самый метод! Линейное ОДУ - частный случай.

Умножением на правильно выбранную функцию сложная задача превращается в простую. Neural ODE (Chen et al., 2018) использует ту же идею: умножение (масштабирование) активаций делает обратное распространение ошибки через непрерывный слой вычислимым.

Четыре метода - четыре ключа для разных замков. Разделение переменных: $dy/dt = ky$, экспоненциальный рост. Линейное с множителем: RC-цепи, фармакокинетика. Точное: консервативные поля. Интегрирующий множитель: всё остальное из двух спецслучаев. Falcon 9 не влезает ни в один - поэтому численный Рунге-Кутта.

Ключевые идеи

• **Разделяющиеся:** $dy/dx = f(x)g(y)$ - разделяем и интегрируем (не забыть стационарные решения где $g(y)=0$)
• **Линейные:** $y' + P(x)y = Q(x)$ - интегрирующий множитель $e^{\int P\,dx}$ решает всегда. RC-цепи, фармакокинетика, закон Ньютона для охлаждения
• **Точные:** $M\,dx + N\,dy = 0$ при $\partial M/\partial y = \partial N/\partial x$ - ищем потенциал $F(x,y) = C$. Консервативные поля в физике
• **Интегрирующий множитель:** превращает неточное уравнение в точное. Та же идея - gauge transformations в квантовой электродинамике
• **Ньютон 1671 $\to$ Falcon 9 2024**: одно уравнение $dy/dt = ky$, 350 лет - от рукописи до морской посадки ракеты

Связанные темы

ОДУ первого порядка - фундамент для всех остальных:

• ОДУ второго порядка — Расширение: колебания, волны, резонанс - нужна вторая производная. Подвеска автомобиля, квантовый гармонический осциллятор
• Системы ОДУ — ОДУ $n$-го порядка сводится к системе $n$ уравнений первого порядка. Именно в таком виде их решает Falcon 9

Вопросы для размышления

• Уравнение $dy/dx = y^2$ взрывается за конечное время при $y(0) = 1$. Может ли линейное уравнение $y' = P(x)y$ взорваться? Что принципиально меняет нелинейность?
• Neural ODE (2018) заменяет ResNet-слои непрерывным ОДУ $dh/dt = f(h,t)$. Какой из четырёх методов этого урока ближе всего к тому, что происходит при обратном распространении ошибки через такую сеть?
• Falcon 9 использует Рунге-Кутта 4-го порядка, а не аналитическое решение. Почему? Когда аналитическое решение ОДУ ценнее численного?

Связанные уроки

• calc-12-ftc