Уравнение Шрёдингера

Шрёдингер в 1926 году за 6 недель написал 4 статьи, каждая с новым решением своего уравнения. К концу года квантовая механика имела математически строгую основу. 2 года спустя Дирак релятивизировал уравнение и предсказал антиматерию.

• Квантовая химия: уравнение Шрёдингера для молекул решается методами DFT, Hartree-Fock
• Квантовые компьютеры: кубит - двухуровневая квантовая система, управляемая Ĥ
• Физика твёрдого тела: зонная структура полупроводников из уравнения Блоха

Предварительные знания

• Предыдущий урок

Уравнение Шрёдингера и гамильтониан

Шрёдингер в 1926 году вывел своё уравнение из аналогии с механикой Гамильтона: iℏ∂_t ψ = Ĥψ, где Ĥ = -ℏ²/(2m)Δ + V - оператор энергии. Для одной частицы ψ ∈ L²(R³). Нормировка: ∫|ψ|² = 1. Стационарные состояния Ĥψ_n = E_n ψ_n - энергетические уровни. Гармонический осциллятор: E_n = ℏω(n+1/2).

Спектральная теория и квантование

Самосопряжённость Ĥ гарантирует вещественный спектр и унитарную эволюцию U(t) = e^{-iĤt/ℏ} (полугруппа Стоуна). Дискретный спектр - связанные состояния, непрерывный - рассеяние. Теорема Релиха - Като: если V ∈ L²+L^∞, то Ĥ самосопряжён. Квантование: x̂ = x·, p̂ = -iℏ∂_x, [x̂,p̂] = iℏ.

Ключевые идеи

• iℏ∂_t ψ = Ĥψ, Ĥ = -ℏ²/(2m)Δ + V(x)
• Стационарные состояния: Ĥφ_n = E_n φ_n, ψ_n = e^{-iE_nt/ℏ} φ_n
• Осциллятор: E_n = ℏω(n+1/2), нулевая энергия E_0 = ℏω/2
• Принцип неопределённости: Δx·Δp ≥ ℏ/2
• Самосопряжённость Ĥ ↔ унитарная группа U(t) = e^{-iĤt/ℏ}

Дальнейшие пути

Изученные концепции открывают следующие разделы.

• de-28-wave-equation — extends

Вопросы для размышления

• Приведите конкретный пример вычисления.
• Как изученные концепции связаны с другими разделами математики?