Волновое уравнение

Даламбер в 1747 году решил задачу о колеблющейся струне, заложив основы теории PDE. Через 100 лет Кирхгоф распространил решение на R³. Через 200 лет принцип Гюйгенса объяснил, почему мы слышим звук чётко - в R³ нет «звукового эха».

• Сейсмология: S- и P-волны решают волновое уравнение в неоднородной среде
• Электромагнетизм: уравнения Максвелла сводятся к волновому уравнению в вакууме
• Гравитационные волны: линеаризованные уравнения Эйнштейна - волновое уравнение для h_μν
• **Акустика и ультразвук:** медицинский УЗИ и неразрушающий контроль используют решения волнового уравнения для реконструкции изображений по отражённым импульсам.

Предварительные знания

• Предыдущий урок

Волновое уравнение и формула Даламбера

Даламбер в 1747 году решил волновое уравнение u_tt = c²u_xx через замену ξ=x+ct, η=x-ct: u(x,t) = f(x-ct) + g(x+ct). Каждое решение - суперпозиция бегущих волн. Скорость распространения - c. В R³: u_tt = c²Δu, формула Кирхгофа. Дисперсионное соотношение: ω = c|k|.

Волновое уравнение в R³ и принцип Гюйгенса

Формула Кирхгофа: u(x,t) = ∂_t(t M_{ct}[φ]) + t M_{ct}[ψ], где M_r - сферическое среднее. Принцип Гюйгенса (строгий): в R³ носитель решения распространяется строго по конусу, в R² - заполняет конус. Скорость рассеяния: O(1/t) в 3D, O(1/√t) в 2D. Формула Пуассона в 2D: через Стокса из 3D.

Функция Грина волнового уравнения

Функция Грина волнового уравнения описывает отклик на точечный мгновенный источник. В R3: G(x,t) = delta(t-|x|/c)/(4pi*c*|x|). Singularity строго на световом конусе - прямое следствие принципа Гюйгенса. Свёртка G с произвольным источником F даёт решение неоднородного уравнения.

Ключевые идеи

• Формула Даламбера: u = f(x-ct) + g(x+ct) в 1D
• E(t) = (1/2)∫(u_t² + c²u_x²)dx = const
• Дисперсия: ω = c|k| - бездисперсионное уравнение
• Формула Кирхгофа в R³: через сферическое среднее на |y-x|=ct
• Принцип Гюйгенса (строгий): носитель только на конусе в R^{2n+1}

Дальнейшие пути

Изученные концепции открывают следующие разделы.

• de-29-einstein-equations — extends

Вопросы для размышления

• Приведите конкретный пример вычисления.
• Как изученные концепции связаны с другими разделами математики?