Уравнения поля Эйнштейна

Эйнштейн вывел свои уравнения в ноябре 1915 года, за неделю до Гильберта. 100 лет спустя LIGO (2015) услышал гравитационные волны от слияния двух чёрных дыр массой 36 и 29 масс Солнца - сигнал длился 0.2 секунды и прошёл 1.3 миллиарда лет.

• Космология: FLRW + уравнение Фридмана моделирует расширение Вселенной
• GPS: поправки на гравитационное замедление времени (решение Шварцшильда) - 45 мкс/день
• Гравитационные волновые обсерватории: LIGO, Virgo, LISA обнаруживают слияния

Предварительные знания

• Предыдущий урок

Уравнения поля Эйнштейна

Эйнштейн в 1915 году вывел уравнения G_μν + Λg_μν = 8πG T_μν, где G_μν = R_μν - (1/2)Rg_μν - тензор Эйнштейна, T_μν - тензор энергии-импульса. 10 нелинейных PDE для 10 компонент метрики g_μν. Первое точное решение - Шварцшильд (1916), описывающий геометрию вокруг массы M.

Линеаризованная гравитация и гравитационные волны

Линеаризация: g_μν = η_μν + h_μν, |h|≪1. В калибровке Лоренца □h̄_μν = -16πG T_μν, где h̄_μν = h_μν - (1/2)η_μν h. Решение - гравитационные волны, распространяющиеся со скоростью c. LIGO (2015) зафиксировал слияние чёрных дыр: деформация δL/L ∼ 10^{-21}.

Ключевые идеи

• G_μν + Λg_μν = 8πG T_μν - 10 нелинейных PDE для g_μν
• Шварцшильд: r_s = 2GM/c², g_tt = -(1-r_s/r), g_tt(r_s) = 0
• Фридман: H² = (8πG/3)ρ - k/a² + Λ/3
• Линеаризация: □h̄_μν = -16πG T_μν в калибровке Лоренца
• Квадрупольная формула: P = (G/5c⁵)⟨Q̈ij Q̈ij⟩

Дальнейшие пути

Изученные концепции открывают следующие разделы.

• de-28-wave-equation — extends

Вопросы для размышления

• Приведите конкретный пример вычисления.
• Как изученные концепции связаны с другими разделами математики?